高二数学函数图象

第十节函数图像基础梳理1.函数作图的最基本途径：描点法描点法作图象分三步：________、________、________.即根据函数的定义域适当取值．与函数值对应列出表格，而后在平面直角坐标系中描出相关点，再用平滑的曲线顺次连结，从而作出图象．2.图象的变换(1)平移变换①水平平移：y=f(x±a)(a0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移________个单位得到；②竖直平移：y=f(x)±b(b0)的图象，可由y=f(x)的图象向________(+)或向________(-)平移________个单位得到．连线列表描点ba上下(2)对称变换①y=f(x)与y=f(-x)的图象关于________对称；②y=-f(x)与y=f(x)的图象关于________对称；③y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于________对称；④y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于________对称；⑤y=|f(x)|的图象可由y=f(x)的图象在x轴下方的部分以________为对称轴翻折，其余部分________得到；⑥y=f(|x|)的图象可将y=f(x)(x≥0)的部分作出，x0的部分的图象可以利用偶函数的图象关于________对称作出．x轴y轴y轴原点y=xx轴不变(3)伸缩变换①y=Af(x)(A0)的图象，可将y=f(x)的图象上的所有的点的横坐标________，纵坐标变为原来的________倍得到；②y=f(ax)(a0)的图象，可将y=f(x)的图象横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变得到．A不变1a基础达标1.f(x)=x2+(a+2)x+3，x∈[a，b]的图象关于x=1对称，则a=________，b=________.2.为了得到函数的图象，可以把的图象向_____平移____个单位．122xy12xy-46解析：由题意知21426.12aaabb右1解析：111222xxy，故向右平移1个单位．=log3(x-1)的图象向右平移个单位，再把横坐标变为原来的，则函数表达式为_______________．12123.函数y=f(x)的图象过点(1,1)，则函数f(4-x)的图象一定过定点________．解析：由题意知f(1)=1，则f(4-3)=1，∴图象过点(3,1)．(3,1)33log22yx解析：y=log3(x-1)y=log3=log3y=log3112x32x322x5.(2011无锡一中模拟)设函数y=f(x)的定义域在实数集上，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线________对称.解析：因为y=f(x)，x∈R，而f(x-1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1-x)=f[-(x-1)]的图象是f(-x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因为f(x)与f(-x)的图象是关于y轴(即直线x=0)对称，因此，f(x-1)与f[-(x-1)]的图象关于直线x=1对称．x=1经典例题【例1】作出下列函数的图象．(1)y=2x+1-1；(2)y=；(3)y=sin|x|；(4)y=|log2(x+1)|.题型一作图23xx分析：(1)利用基本函数的图象进行变换作图，首先应将原函数式变形．解析：(1)y=2x+1-1的图象可由y=2x的图象向左平移1个单位，得y=2x+1的图象，再向下平移一个单位得到y=2x+1-1的图象，如图1.(2)，可见，原函数可由向左平移3个单位再向上平移1个单位而得，如图2.21133xyxx1yx(3)当x≥0时，y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同，又y=sin|x|为偶函数，其图象关于原点对称，如图3.(4)首先作出y=log2x的图象C1，然后将C1向左平移1个单位，得到y=log2(x+1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y=|log2(x+1)|，如图4.变式1-1作出下列函数的图象．(1)；(2)；(3)y=|log2x-1|；(4)y=2|x-1|.3||xyx21xyx解析：(1)首先化简解析式得利用二次函数的图象作出其图象，如图①.(2)，先作出的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得到的图象，如图②.(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2x-1|的图象，如图③.22,0,0xxyxx311yx3yx21xyx(4)先作出y=2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y=2|x|的图象，再将y=2|x|的图象向右平移一个单位，即得y=2|x-1|的图象，如图④.题型二识图【例2】已知f(x)=ax-2，g(x)=loga|x|(a＞0且a≠1)，若f(4)g(-4)＜0，则y=f(x)，y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是________．(填序号)分析：从条件f(4)g(-4)＜0上挖掘f(x)，g(x)在同一坐标系内的图象特征．解：方法一：∵g(x)=loga|x|，∴g(-4)=g(4)，∴f(4)g(-4)＜0即f(4)g(4)＜0.观察图形发现③、④中f(4)，g(4)同号，而①、②中f(4)，g(4)异号．故排除③、④.而图①中，f(x)的底数a＞1，g(x)的底数0＜a＜1，故排除①，所以答案为②.方法二：由f(4)g(-4)＜0得f(4)g(4)＜0，∵f(4)=a2＞0，∴g(4)=loga4＜0，∴0＜a＜1.①中f(x)的底a＞1，③、④中g(x)的底a＞1，故填②.变式2-1(2011浙江杭州模拟)函数f(x)=loga|x|+1(0a1)的图象大致为________．①解析：作出函数y=logax(0a1)的图象，然后保留y轴右侧不变，再将y轴右侧对称到左侧，得y=loga|x|，再将所得图象向上平移一个单位，点(1,0)和(-1,0)变化为(1,1)和(-1,1)，故①正确．题型三用图【例3】已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)试写出函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(2)求集合M={m|方程f(x)=mx有四个不相等的实根}．分析：由函数图象可以确定函数的单调性及单调区间，所以我们作出函数图象，利用图象来解决(1)；由方程、函数、不等式三者之间的关系可以结合函数图象很好地解决(2)．解：当x2-4x+3≥0，即x≥3或x≤1时，f(x)=x2-4x+3；当x2-4x+30，即1x3时，f(x)=-x2+4x-3.所以则f(x)=|x2-4x+3|的图象如图1，由图知，函数f(x)在区间(-∞，1)、(2,3)上单调递减，在区间(1,2)、(3，+∞)上单调递增，即函数f(x)的单调减区间为(-∞，1)、(2,3)；单调增区间为(1,2)、(3，+∞)．2221,1()21,13.xxfxxx(2)在同一坐标系中作出函数y=f(x)与y=mx的图象，由图2知：当直线y=mx与f(x)=-x2+4x-3(1x3)有两个公共点时，方程f(x)=mx有四个不同的实数根，下面求直线与y=-x2+4x-3(1x3)相切时的m值：由mx=-x2+4x-3，即x2+(m-4)x+3=0，∆=(m-4)2-4×3=0，结合图象得m=4-2，所以当0m4-2时，函数y=f(x)与y=mx的图象有四个不同的公共点，故M={m|0m4-2}．333变式3-1(2011广东调研)若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立，求实数m的值．解析：在同一坐标系中分别画出函数y=|2x-m|及y=|3x+6|(如图)．由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立，所以函数y=|2x-m|的图象应总在函数y=|3x+6|图象的下方，因此函数y=|2x-m|的图象也必经要过点(-2,0)，故m=-4.易错警示【例】把函数y=log2(3x-1)的图象先向右平移个单位，再把横坐标变为原来的，所得函数解析式为________．1212错解1：把函数y=log2(3x-1)的图象向右平移个单位得：再把横坐标变为原来的得：122215log31log(3)22yxx1223log62yx错解2：把函数y=log2(3x-1)的图象向右平移个单位得：再把横坐标变为原来的得：122215log3()1log(3)22yxx12225log2(3log(65)2yxx正解：把函数y=log2(3x-1)的图象向右平移个单位得：再把横坐标变为原来的得：y=log2.122215log31log322yxx562x121.(2010湖南改编)用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=－对称，则t的值为________．知识准备：1.会作出y=|x|、y=|x+t|的图象；2.对函数图象画法、对称性要理解并掌握．链接高考121解析：如图，要使f(x)=min{|x|，|x+t|}的图象关于直线x=-对称，则t=1.122.(2010山东改编)函数y=2x-x2的图象大致是________．知识准备：１．函数y=2x与y=x2的图象和性质，知道y=2x增长的速度要快于y=x2增长的速度；2.函数y=2x-x2的零点可转化为y=2x与y=x2图象的交点．①解析：在同一坐标系下画出y=2x与y=x2的图象，如图．由图知，当x＜0时，有一个交点，当x＞0时，由于y=2x的增长速度要远远快于y=x2的增长速度，所以可看出在x＞0时有两个交点．故y=2x-x2有三个零点，且每个零点两侧的函数值异号，于是排除②③④，填①.