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人教版义务教育教科书数学九年级上册介绍新中国教育出版事业从这里开始……人教社初中数学培训专家团北京市朝阳区教育研究中心万书河wanshuhe@126.com《数学》九年级上册章名课时第二十一章一元二次方程13课时第二十二章二次函数8课时第二十三章旋转7课时第二十四章圆12课时第二十五章概率初步11课时第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1课时21．2降次——解一元二次方程7课时21．3实际问题与一元二次方程3课时数学活动小结2课时（一）内容安排设未知数，列方程解配方法方程公式法因式分解法检验实际问题一元二次方程02cbxax方程02cbxax(a≠0)的根aacbbx242降次实际问题的答案•从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。•二元、三元一次方程组可看成是对一元一次方程在“元”上的推广，一元二次方程是在次数上的推广。类比二（三）元一次方程组的解法，研究将“二次”降为“一次”的方法，是本章学习的另一条主线。•教科书着重介绍配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定在解数字系数的一元二次方程。（一）内容安排（一）内容安排•降次是解一元二次方程的基本策略，即通过配方、因式分解等，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。根据平方根的意义，可得方程x2=p和(x+n)2=p的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为(x+n)2=p的形式再解；一元二次方程的求根公式，是对方程ax2+bx+c=0配方后得出的．如能将ax2+bx+c分解为两个一次因式之积，则可令每个因式为0来解．（一）内容安排•三种解法的地位：配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根．因式分解法是解某些方程的简便方法。配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法．在推导求根公式的过程，体现了从特殊到一般的思想；求解方程的过程是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，体现了化归思想。这个过程对培养推理能力、运算能力等都很有作用。（一）内容安排《课程标准（2011年版）》重新强调了一元二次方程根的判别式和韦达定理的重要性，要求能“用判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数的关系”，这是需要注意的一个变化。•除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外，第三节安排三个“探究”，让学生建立一元二次方程模型解决实际问题，再一次经历如下过程：抽象分析不合实际建立模型符合实际验证解模实际情境数学问题已知量、未知量、等量关系方程方程的解解的合理性解释（一）内容安排（二）编写时考虑的几个问题1．注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识•利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，建立一元二次方程模型，引出本章内容；•通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示；•安排“实际问题与一元二次方程”，使学生完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程。•目的：使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要；体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识。2．重视联系性、逻辑性，突出基本策略•采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法，从方程x2=p出发，经不断推广而得到一般的ax2+bx+c=0；利用“配方法”，把“新方程”化归为已解决的形式而得解：•根据平方根的意义，通过直接开平方而得到方程x2=25的解，再推广到求方程x2=p的解，引导学生对p＞0，p＝0和p＜0三种情况进行详细讨论；•然后，分析变式(x+3)2=5的解决过程，归纳出“把一个一元二次方程‘降次’，转化为两个一元一次方程”的思路，再给出(x+3)2=5的等价形式x2+6x+4=0，并用框图表示将x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的过程，最后归纳出“配方法”，并讨论通过配方将方程转化为(x+n)2=m的形式后的解，让学生再次经历分类讨论过程。•再通过“探究：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？”让学生借助用配方法解一元二次方程的已有经验，自主推导出求根公式。•上述过程，让学生反复经历了“具体——抽象”、“配方——分类讨论”的过程，不仅获得了求根公式，而且有利于突破两个难点：针对一般形式的一元二次方程的配方，分类讨论。•通过具体方程10x－4.9x2=0，得出针对某些方程的简便解法——因式分解法。•最后进行根与系数关系的研究。3．注重“四能”培养•因为学生已经具备研究一元二次方程的概念、解法的知识基础，只要他们能把这些知识调动起来、应用到研究中去，他们就能独立地发现解法，所以教科书注重通过栏目和“边空设问”等方式启发学生的思维，为他们提供独立探究的机会。（三）对教学的几个建议1．为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程，可以按如下线索安排•实际背景引入→从已有经验中总结解方程的一般思想方法（化归为一元一次方程）→类比二元一次方程组的“消元”，得到解一元二次方程的思路“降次”→从简单、特殊的一元二次方程（如x2=25，x2=p；(x+3)2=5，x2+6x+4=0，(x+n)2=p等）探索“降次”的方法（直接开平方、配方法）→用配方法推导求根公式（公式法）→针对特殊一元二方程的特殊解法（因式分解法）。•要让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，避免不同解法之间的割裂。方程x2=p的解具有奠基作用，特别是对p的分类讨论，蕴含了对判别式的分类讨论，所以一定要认真处理好；推广的方程(x+3)2=5与x2+6x+4=0是获得配方法的载体；配方法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根，省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的简便方法。•获得一元二次方程解法的教学中，应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。2．注重模型思想、应用意识的培养•让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，把模型思想、应用意识的培养落在实处。•用数学解决实际问题的难点在于数量关系的分析和数学模型的选择。教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程。要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等。3．注意控制教学要求•学习韦达定理的目的在于使学生更深入地体会根与系数的确定关系，更全面地认识一元二次方程。•针对判别式、韦达定理等的形式化训练，对锻炼学生的思维有一定好处，但复杂的代数变形对提高学生的数学能力（特别是数学建模能力）没有多大帮助。因此，要注意把握好这些教学要求，控制好形式化训练的难度，特别是不要搞用韦达定理解决其他问题的训练。第二十二章二次函数22.1二次函数6课时22.2二次函数与一元二次方程1课时22.3实际问题与二次函数3课时数学活动小结2课时（一）内容安排本章主要变化•构建二次函数图象和性质的研究思路•通过图象理解二次函数的变化情况•调整第三节正文中的实际问题用物理问题引入。将原来的面积问题改为探究1。将原来的探究1改为探究2。删去原来的探究2。•更换数学活动将数字问题、曲线问题作为数学活动的内容。1.体现类比、数形结合和归纳的思想•类比思想在讨论过程中有多处体现。例如，在讨论二次函数之前的一段话中指出，可以类比一次函数研究二次函数。又如，对于二次函数y＝ax²是分a0和a0两种情况讨论的，先讨论a0的情况，这样，a0的情况就可以类比a0的情况进行讨论。（二）编写时考虑的几个问题•数形结合地研究函数贯穿二次函数的讨论的始终。对于最简单的二次函数y＝x²的研究就是从画这个函数的图象开始，然后通过图象了解它的性质。其后的二次函数的研究，也都展现了从解析式到图象，从图象到性质的过程。包括第22.3节中，关于二次函数的最小（大）值的结论也是通过确定函数图象的最低点或最高点获得的。•从特殊例子归纳一般结论也是常用的。2.重视知识之间的联系学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题。3.体现模型思想•对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模来刻画，就可以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决。这一过程体现了模型思想。•例如，在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值。本章用第三节中的探究1和探究2举例说明此类问题的解决过程。•此外，在函数y=a(x－h)＋k的讨论之后安排的修建喷水池时确定水管长度的问题，在第三节中安排的探究3（水位问题），也是运用二次函数解决实际问题的例子。1．注意复习相关内容二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。从八年级下册“一次函数”的学习到九年级上册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间。函数的概念,描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数。复习平移、对称，配方等内容，有助于学生学习本章内容。（三）对教学的几个建议2．关注数形结合的研究方法•二次函数的图象和性质的讨论运用了数形结合的研究方法，即先画出二次函数的图象，再结合图象讨论二次函数的性质。把握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展。•图象可以直观展示函数的变化情况。函数图象从左向右上升（或下降）对应着函数随自变量增大而增大（或减小）。3．加强对实际问题的分析运用二次函数解决实际问题时，用二次函数表示问题中变量之间的关系是重要一环。要加强对实际问题的分析。例如，在22.3节的探究1中，用总长一定的篱笆围成矩形场地，场地的面积随矩形一边长的变化而变化。场地的面积是矩形一边长与它的邻边长的乘积，用矩形一边长表示它的邻边长，从而得到场地面积随矩形一边长变化的函数解析式。教学中，加强对实际问题的分析，有助于学生顺利解决实际问题。4．重视信息技术的使用第二十三章旋转23.1图形的旋转2课时23.2中心对称3课时23.3课题学习图案设计1课时数学活动小结1课时（一）内容安排按照《义务教育数学课程标准》，在“图形的变化”部分要介绍平移、轴对称和旋转.本章介绍旋转。本章第一节学习图形旋转的基本概念和性质.在此基础上，第二节学习特殊的旋转——中心对称.第三节是课题学习，内容是综合运用平移、轴对称、旋转进行图案设计.23.1图形的旋转首先通过时针、叶片等实例引出旋转的概念.然后设置了一个“探究”栏目，让学生探索在旋转中对应点到旋转中心的距离相等、对应点和旋转中心连线所成的角彼此相等的性质.接下来，安排了一个按要求画出简单平面图形旋转后的图形的例题.最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容.在本节中，旋转的概念、性质以及有关作图的内容环环相扣：由概念得出性质；由性质得出有关作图的方法.应关注这些内容之间的联系，使前一部分内容为后一部分内容作好准备，使后一部分内容复习巩固前一部分内容.23.2中心对称本节分三部分内容：中心对称的概念、性质和有关画图；中心对称图形的概念；关于原点对称的点的坐标的关系.对中心对称，课本首先通过具体例子给出中心对称的概念，然后探究中心对称的性质，最后说明画和已知图形中心对称的图形的方法.对中心对称图形，主要让学生通过线段、平行四边形加以认识，并了解中心对称和中心对称图形的联系和区别.关于原点对称的点的坐标的关系是很基本的坐标关系，教学中可以让学生自行探究得出，由此得到利用这一关系画和已知图形关于原点对称的图形的方法.（二）编写时考虑的几个问题1.注意揭示旋转概念的实际背景和广泛的应用学