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11.6复数第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养考情概览-2-考纲要求命题角度分析1.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.2.了解复数的代数形式及其几何意义;能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.3.能进行复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加减运算的几何意义.从近几年的高考试题来看,复数是高考的必考内容,也是高考考查的热点之一,题目处在试卷的前三个题的位置,难度较小,重点考查复数的概念,复数的相等,复数的四则运算以及共轭复数,复数的乘、除运算是高考考查的热点.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-3-知识梳理双击自测1.复数的有关概念(1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a,b分别是它的和.若,则a+bi为实数,若,则a+bi为虚数,若,则a+bi为纯虚数.(2)复数相等:a+bi=c+di⇔(a,b,c,d∈R).(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔(a,b,c,d∈R).(4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.叫做实轴,叫做虚轴.实轴上的点都表示;除原点外,虚轴上的点都表示;各象限内的点都表示非纯虚数.(5)复数的模:向量𝑂𝑍的模r叫做复数z=a+bi的模,记作_________或,即|z|=|a+bi|=.𝑎2+𝑏2实部虚部b=0b≠0a=0,且b≠0a=c,且b=da=c,b=-dx轴y轴实数纯虚数|z||a+bi|第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-4-知识梳理双击自测2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi平面向量𝑂𝑍(a,b∈R).第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-5-知识梳理双击自测3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;④除法:𝑧1𝑧2=𝑎+𝑏i𝑐+𝑑i=(𝑎+𝑏i)(𝑐-𝑑i)(𝑐+𝑑i)(𝑐-𝑑i)=𝑎𝑐+𝑏𝑑𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐-𝑎𝑑𝑐2+𝑑2i(c+di≠0).(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.(a+c)+(b+d)I(a-c)+(b-d)I(ac-bd)+(ad+bc)Iz2+z1z1+(z2+z3)第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-6-知识梳理双击自测234151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)方程x2+1=0没有解.()(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.()(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离,也等于复数对应的向量的模.()(4)已知复数z的共轭复数𝑧=1+2i,则z在复平面内对应的点位于第三象限.()(5)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.()××√××第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-7-知识梳理双击自测234152.(2015北京高考)复数i(2-i)=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2iA解析:i(2-i)=2i-i2=2i-(-1)=1+2i.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-8-知识梳理双击自测234153.实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.故选B.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-9-知识梳理双击自测234154.若(a+b)+(b-1)i=(2a+3b)+(2b+1)i,则实数a=,b=.4-2解析:由复数相等的定义,得𝑎+𝑏=2𝑎+3𝑏,𝑏-1=2𝑏+1,解得𝑎=4,𝑏=-2.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养知识梳理-10-知识梳理双击自测234155.(2015天津高考)设i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.-2解析:(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-11-考点一考点二考点三复数的有关概念1.(2015广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=()A.2-3iB.2+3iC.3+2iD.3-2i𝑧A解析:因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以=2-3i.𝑧2.复数3+ii2(i为虚数单位)的实部等于.-3解析:由题意可得3+ii2=3+i-1=-3-i,故复数的实部为-3.3.(2015重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=.√33解析:因为复数a+bi的模为√3,所以√𝑎2+𝑏2=√3,即a2+b2=3.于是(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-12-考点一考点二考点三方法总结对于复数z=a+bi,必须满足a,b均为实数,才能得出实部为a,虚部为b.对于复数相等必须先化为a+bi的形式,才能比较实部与虚部.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-13-考点一考点二考点三复数的几何意义例1(2015安徽高考)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2i1-iB解析:由复数除法的运算法则可得,2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=2i-22=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限.故选B.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-14-考点一考点二考点三例2已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第象限,复数z对应的点的轨迹是.四一条射线解析:由a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,得z的实部为正数,虚部为负数.∴复数z的对应点在第四象限.设z=x+yi(x,y∈R),消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3),∴复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).则𝑥=𝑎2-2𝑎+4,𝑦=-(𝑎2-2𝑎+2).第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-15-考点一考点二考点三方法总结1.复数z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)𝑂𝑍.2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-16-考点一考点二考点三对点练习1(2014课标全国高考Ⅱ)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-iA解析:由题意知:z2=-2+i.因为z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.对点练习2在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量𝑂𝐴和𝑂𝐵,其中O为坐标原点,则|𝐴𝐵|=.2√2解析:由题意知A(1,1),B(-1,3),故|𝐴𝐵|=(-1-1)2+(3-1)2=2√2.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-17-考点一考点二考点三复数的代数运算例1设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2iA解析:∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=52-i.∴z=2i+52-i=2i+5(2+i)(2-i)(2+i)=2i+2+i=2+3i.故选A.例2设i是虚数单位,复数7+i3+4i=()A.1-iB.-1+iC.1725+3125iD.-177+257iA解析:7+i3+4i=(7+i)(3-4i)(3+4i)(3-4i)=25-25i25=1-i,故选A.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点例3(2015课标全国高考Ⅱ)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=().A.-1B.0C.1D.2-18-考点一考点二考点三B解析:∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴4𝑎=0,𝑎2-4=-4,解之得a=0.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-19-考点一考点二考点三方法总结复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-20-考点一考点二考点三对点练习1已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=()A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3iA解析:∵a+i=2-bi,∴a+bi=2-i.即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.对点练习2(2014课标全国高考Ⅰ)=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i(1+i)3(1-i)2D解析:(1+i)3(1-i)2=(1+i)2(1+i)(1-i)2=2i(1+i)-2i=-1-i.故选D.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养核心考点-21-考点一考点二考点三对点练习3(2015湖北高考)设i为虚数单位,则i607的共轭复数为()A.iB.-iC.1D.-1A解析:∵i607=i151×4+3=i3=-i,∴i607的共轭复数为i.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养学科素养-22-思想方法满分策略解决复数问题的实数化方法复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法,其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质,借助两个复数相等,可以列出方程(组)来求未知数的值.应用复数的实数化策略可解决求复数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养学科素养-23-思想方法满分策略典例已知a,b∈R,i为虚数单位,若(a+i)(1+i)=bi,则a+bi=.答案:1+2i解析:(a+i)(1+i)=(a-1)+(a+1)i=bi,则解得a=1,b=2.所以a+bi=1+2i.𝑎-1=0,𝑎+1=𝑏,反思提升在解决与复数相等有关的问题时,设z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等的相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.第十一章11.6复数考情概览知识梳理核心考点学科素养学科素养-24-思想方法满分策略1.判定复数是不是实数,仅注意虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.2.注意复数和虚数是包含关系,不能把复数等同为虚数,如虚数不能比较大小,但说两个复数不能比较大小就不对了.3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2∈C,𝑧12+𝑧22=0,就不能推出z1=z2=0;z20在复数范围内有可能成立.