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6.4数列求和第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结考情概览-2-考纲要求命题角度分析1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.数列求和是高考的重点,题型以解答题为主,主要考查等差数列、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和,数列求和常与函数、方程、不等式联系在一起,考查内容较为全面,在考查基本运算、基本能力的基础上,又注意考查学生分析问题、解决问题的能力.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-3-知识梳理双击自测1.基本数列求和方法(1)等差数列求和公式:Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=na1+𝑛(𝑛-1)2d.(2)等比数列求和公式:Sn=𝑛𝑎1,𝑞=1,𝑎1-𝑎𝑛𝑞1-𝑞=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞,𝑞≠1.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-4-知识梳理双击自测2.非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.(2)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.(3)并项求和法:一个数列的前n项和可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an=(-1)nf(n)类型.(4)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.(5)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-5-知识梳理双击自测234151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)当n≥2时,1𝑛2-1=1𝑛-1−1𝑛+1.()(2)若Sn=a+2a2+3a3+…+nan,当a≠0,且a≠1时,求Sn的值可用错位相减法求得.()(3)求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°的和,可用倒序相加法.()(4)若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S50=-25.()(5)已知等差数列{an}的公差为d,则有1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑑1𝑎𝑛-1𝑎𝑛+1.()×√√√√第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-6-知识梳理双击自测234152.已知数列{an}的通项公式an=n,则数列1𝑎𝑛𝑎𝑛+1的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100A解析:∵1𝑎𝑛𝑎𝑛+1=1𝑛(𝑛+1)=1𝑛−1𝑛+1,∴数列1𝑎𝑛𝑎𝑛+1的前100项和为1-12+12−13+…+1100−1101=1-1101=100101.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-7-知识梳理双击自测234153.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于()A.200B.-200C.400D.-400B解析:S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-8-知识梳理双击自测234154.已知数列{an}的通项公式,前n项和为Sn,则S2012=.an=ncos𝑛π2+13018解析:∵函数y=cos𝑛π2的周期T=2ππ2=4,∴可用分组求和法:a1+a5+…+a2009=1+1+…+1503个=503;a2+a6+…+a2010=(-2+1)+(-6+1)+…+(-2010+1)=-1-5-…-2009=503(-1-2009)2=-503×1005;a3+a7+…+a2011=1+1+…+1503个=503;a4+a8+…+a2012=(4+1)+(8+1)+…+(2012+1)=503×(5+2013)2=503×1009;故S2012=503-503×1005+503+503×1009=503×(1-1005+1+1009)=3018.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-9-知识梳理双击自测234155.1×3+2×32+3×33+…+n×3n=.3+(2𝑛-1)·3𝑛+14解析:设Sn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,所以3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3𝑛+1,两式相减得,-2Sn=3+(32+33+…+3n)-n·3𝑛+1=(3+32+33+…+3n)-n·3𝑛+1=3(1-3𝑛)1-3-n·3𝑛+1,所以Sn=3+(2𝑛-1)·3𝑛+14.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-10-考点一考点二考点三分组求和与并项求和1.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则a1+a2+…+a10等于()A.15B.12C.-12D.-15A解析:记bn=3n-2,则数列{bn}是以1为首项,3为公差的等差数列,所以a1+a2+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-11-考点一考点二考点三2.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为.2𝑛+1-2+n2解析:Sn=(2+22+23+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]=2(1-2𝑛)1-2+𝑛(1+2𝑛-1)2=2𝑛+1-2+n2.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-12-考点一考点二考点三3.在等比数列{an}中,已知a1=3,公比q≠1,等差数列{bn}满足b1=a1,b4=a2,b13=a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记cn=(-1)nbn+an,求数列{cn}的前n项和Sn.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d.由已知,得a2=3q,a3=3q2,b1=3,b4=3+3d,b13=3+12d,故3𝑞=3+3𝑑,3𝑞2=3+12𝑑⇒𝑞=1+𝑑,𝑞2=1+4𝑑⇒q=3或1(舍去).所以d=2,所以an=3n,bn=2n+1.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-13-考点一考点二考点三(2)由题意,得cn=(-1)nbn+an=(-1)n(2n+1)+3n,Sn=c1+c2+…+cn=(-3+5)+(-7+9)+…+[(-1)n-1(2n-1)+(-1)n·(2n+1)]+3+32+…+3n.当n为偶数时,Sn=n+3(1-3𝑛)1-3=3𝑛+12+n-32;当n为奇数时,Sn=(n-1)-(2n+1)+3(1-3𝑛)1-3=3𝑛+12-n-72.所以Sn=3𝑛+12+𝑛-32,𝑛为偶数,3𝑛+12-𝑛-72,𝑛为奇数.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-14-考点一考点二考点三方法总结1.分组转化法求和的常见类型(1)若an=bn±cn,且数列{bn},{cn}为等差数列或等比数列,可采用分组求和法求数列{an}的前n项和;(2)通项公式为的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.2.若数列{an}的通项为an=(-1)nf(n),一般利用并项求和法求数列前n项和.an=𝑏𝑛,𝑛为奇数,𝑐𝑛,𝑛为偶数第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-15-考点一考点二考点三错位相减法求和例题(2015天津高考)已知数列{an}满足an+2=qan(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和数列{an}的通项公式;(2)设,n∈N*,求数列{bn}的前n项和.bn=log2𝑎2𝑛𝑎2𝑛-1解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,an=a2k-1=2k-1=2𝑛-12;当n=2k(k∈N*)时,an=a2k=2k=2𝑛2.所以,{an}的通项公式为an=2𝑛-12,𝑛为奇数,2𝑛2,𝑛为偶数.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-16-考点一考点二考点三(2)由(1)得bn=log2𝑎2𝑛𝑎2𝑛-1=𝑛2𝑛-1.设{bn}的前n项和为Sn,则Sn=1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12𝑛-2+n×12𝑛-1,12Sn=1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12𝑛-1+n×12𝑛,上述两式相减,得12Sn=1+12+122+…+12𝑛-1−𝑛2𝑛=1-12𝑛1-12−𝑛2𝑛=2-22𝑛−𝑛2𝑛,整理得,Sn=4-𝑛+22𝑛-1.所以,数列{bn}的前n项和为4-𝑛+22𝑛-1,n∈N*.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-17-考点一考点二考点三方法总结1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法求和,解题思路是:和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求解.2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-18-考点一考点二考点三对点练习(2015湖北高考)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)当d1时,记,求数列{cn}的前n项和Tn.cn=𝑎𝑛𝑏𝑛解:(1)由题意有,10𝑎1+45𝑑=100,𝑎1𝑑=2,即2𝑎1+9𝑑=20,𝑎1𝑑=2,解得𝑎1=1,𝑑=2或𝑎1=9,𝑑=29.故𝑎𝑛=2𝑛-1,𝑏𝑛=2𝑛-1或𝑎𝑛=19(2𝑛+79),𝑏𝑛=9·29𝑛-1.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-19-考点一考点二考点三(2)由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2𝑛-12𝑛-1,于是Tn=1+32+522+723+924+…+2𝑛-12𝑛-1,①12Tn=12+322+523+724+925+…+2𝑛-12𝑛.②①-②可得12Tn=2+12+122+…+12𝑛-2−2𝑛-12𝑛=3-2𝑛+32𝑛,故Tn=6-2𝑛+32𝑛-1.第六章6.4数列求和考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-20-考点一考点二考点三裂项相消法求和考情分析裂项相消法求和是历年高考的重点,命题角度凸显灵活多变.在解题中,要善于利用裂项相消的基本思想,变换数列an的通项公式,达到求解目的.归纳起来常见的裂项类型有:(1)1𝑛(𝑛+𝑘)=1𝑘1𝑛-1𝑛+𝑘;(2)1(2𝑛-1)(2𝑛+1)=1212𝑛-1-12𝑛+1;(3)1𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)=121𝑛(𝑛+1)-1(𝑛+1)(𝑛+2);(4)1√𝑛+𝑛+𝑘=1𝑘(√�