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7.6数学归纳法第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结考情概览-2-考纲要求命题角度分析1.了解数学归纳法的原理.2.能利用数学归纳法证明一些简单的数学命题.本节内容在高考中重点考查的知识为用数学归纳法证明与正整数有关的命题及与数列有关的命题,题型主要是解答题.能力考查主要为用数学归纳法证明数学命题的能力,分析问题、解决问题的能力,难度为中、高档.第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-3-知识梳理双击自测数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.k+1第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-4-知识梳理双击自测234151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()××××第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-5-知识梳理双击自测23415(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2𝑛+2=2𝑛+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时,第一步检验n=3.()(7)当证明1-12+13−14+…-1𝑛=21𝑛+2+1𝑛+4+…+12𝑛时,先假设n=k(k≥2,且k为偶数)时命题为真,再证n=k+2时等式成立.()√√√第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-6-知识梳理双击自测234152.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程中,第二步假设当n=k(k∈N*)时等式成立,则当n=k+1时应得到()A.1+2+22+…+2𝑘-2+2k-1=2𝑘+1-1B.1+2+22+…+2k+2𝑘+1=2k-1-1+2𝑘+1C.1+2+22+…+2k-1+2𝑘+1=2𝑘+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2kD解析:由条件知,等式的左边从20,21,…一直到2n-1都是连续的,则当n=k+1时,等式为1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k.第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-7-知识梳理双击自测234153.若f(n)=1+12+13+…+16𝑛-1(n∈N*),则f(1)为()A.1B.15C.1+12+13+14+15D.以上答案均错误C解析:∵f(n)=1+12+13+…+16𝑛-1,∴f(1)=1+12+13+…+16×1-1=1+12+13+14+15.第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-8-知识梳理双击自测234154.用数学归纳法证明1+12+13+…+12𝑛-1n(n∈N,且n1),第一步要证的不等式是.1+12+132解析:当n=2时,左边为1+12+122-1=1+12+13,右边为2.故应填1+12+132.第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结知识梳理-9-知识梳理双击自测231455.(2015河北唐山一中调研)用数学归纳法证明:(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增添的代数式为.2(2k+1)解析:当n=k+1时左边应为[(k+1)+1][(k+1)+2]·…·[(k+1)+k-1]·[(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2),即从“n=k到n=k+1”时,左边应添乘的式子是[𝑘+(𝑘+1)][(𝑘+1)+(𝑘+1)]𝑘+1=(2𝑘+1)(2𝑘+2)𝑘+1=2(2k+1).第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-10-考点一考点二考点三用数学归纳法证明等式求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2n-1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),那么,当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1)·2=·…·(2k-1)·(2k+1),即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对所有n∈N*都成立.2𝑘+1·1·3·5第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-11-考点一考点二考点三方法总结1.用数学归纳法证明等式问题,要弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立.一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.3.变形常用的方法:(1)因式分解;(2)添拆项;(3)配方法.第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-12-考点一考点二考点三用数学归纳法证明不等式例题(2015陕西高考)设fn(x)是等比数列1,x,x2,…,xn的各项和,其中x0,n∈N,n≥2.(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.(1)证明:函数Fn(x)=fn(x)-2在12,1内有且仅有一个零点(记为xn),且xn=12+12𝑥𝑛𝑛+1;第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-13-考点一考点二考点三(1)证明:Fn(x)=fn(x)-2=1+x+x2+…+xn-2,则Fn(1)=n-10,Fn12=1+12+122+…+12𝑛-2=1-12𝑛+11-12-2=-12𝑛0,所以Fn(x)在12,1内至少存在一个零点.又Fn'(x)=1+2x+…+nxn-10,故Fn(x)在12,1内单调递增,所以Fn(x)在12,1内有且仅有一个零点xn.因为xn是Fn(x)的零点,所以Fn(xn)=0,即1-𝑥𝑛𝑛+11-𝑥𝑛-2=0,故xn=12+12𝑥𝑛𝑛+1.第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-14-考点一考点二考点三(2)解法一:由假设,gn(x)=(𝑛+1)(1+𝑥𝑛)2.设h(x)=fn(x)-gn(x)=1+x+x2+…+xn-(𝑛+1)(1+𝑥𝑛)2,x0.当x=1时,fn(x)=gn(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nxn-1-𝑛(𝑛+1)𝑥𝑛-12.若0x1,h'(x)xn-1+2xn-1+…+nxn-1-𝑛(𝑛+1)2xn-1=𝑛(𝑛+1)2xn-1-𝑛(𝑛+1)2xn-1=0.若x1,h'(x)xn-1+2xn-1+…+nxn-1-𝑛(𝑛+1)2xn-1=𝑛(𝑛+1)2xn-1-𝑛(𝑛+1)2xn-1=0.所以h(x)在(0,1)内递增,在(1,+∞)内递减.所以h(x)h(1)=0,即fn(x)gn(x).综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x);当x≠1时,fn(x)gn(x).第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-15-考点一考点二考点三解法二:由题设,fn(x)=1+x+x2+…+xn,gn(x)=(𝑛+1)(𝑥𝑛+1)2,x0.当x=1时,fn(x)=gn(x).当x≠1时,用数学归纳法可以证明fn(x)gn(x).①当n=2时,f2(x)-g2(x)=-12(1-x)20,所以f2(x)g2(x)成立.②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即fk(x)gk(x).那么,当n=k+1时,fk+1(x)=fk(x)+xk+1gk(x)+xk+1=(𝑘+1)(1+𝑥𝑘)2+xk+1=2𝑥𝑘+1+(𝑘+1)𝑥𝑘+𝑘+12.又gk+1(x)-2𝑥𝑘+1+(𝑘+1)𝑥𝑘+𝑘+12=𝑘𝑥𝑘+1-(𝑘+1)𝑥𝑘+12,第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-16-考点一考点二考点三令hk(x)=kxk+1-(k+1)xk+1(x0),则hk'(x)=k(k+1)xk-k(k+1)xk-1=k(k+1)xk-1(x-1).所以,当0x1时,hk'(x)0,hk(x)在(0,1)上递减;当x1时,hk'(x)0,hk(x)在(1,+∞)内递增.所以hk(x)hk(1)=0,从而gk+1(x)2𝑥𝑘+1+(𝑘+1)𝑥𝑘+𝑘+12.故fk+1(x)gk+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由①和②知,对一切n≥2的整数,都有fn(x)gn(x).第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-17-考点一考点二考点三解法三:由已知,记等差数列为{ak},等比数列为{bk},k=1,2,…,n+1.则a1=b1=1,an+1=bn+1=xn,所以ak=1+(k-1)·𝑥𝑛-1𝑛(2≤k≤n),bk=xk-1(2≤k≤n),令mk(x)=ak-bk=1+(𝑘-1)(𝑥𝑛-1)𝑛-xk-1,x0(2≤k≤n),当x=1时,ak=bk,所以fn(x)=gn(x).当x≠1时,mk'(x)=𝑘-1𝑛·nxn-1-(k-1)xk-2=(k-1)xk-2(xn-k+1-1).而2≤k≤n,所以k-10,n-k+1≥1.若0x1,xn-k+11,mk'(x)0;若x1,xn-k+11,mk'(x)0,从而mk(x)在(0,1)内递减,在(1,+∞)内递增,第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-18-考点一考点二考点三所以mk(x)mk(1)=0.所以当m0且m≠1时,akbk(2≤k≤n),又a1=b1,an+1=bn+1,故fn(x)gn(x).综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x);当x≠1时,fn(x)gn(x).第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-19-考点一考点二考点三方法总结1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.2.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证当n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-20-考点一考点二考点三对点练习用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式1+131+15·…·1+12𝑛-1√2𝑛+12均成立.第七章7.6数学归纳法考情概览知识梳理核心考点规律总结核心考点-21-考点一考点二考点三证明:(1)当n=2时,左边=1+13=43,右边=√52.∵左边右边,∴不等式成立.(2)假设n=k(k≥2,且k∈N*)时不等式成立,即1+131+15·…·1+12𝑘-12𝑘+12.那么,当n=k+1时,1+131+15·…·1+12𝑘-11+12(𝑘+1)-12𝑘+12·2𝑘+22𝑘+1=2𝑘+222𝑘+1=4𝑘2+8𝑘+42