9.1平面及其基本性质(第2课时)

第九章直线、平面、简单几何体第讲（第二课时）1.四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3.求证：EF、GH、BD交于一点.题型4共点问题分析：只要证明点E、F、G、H分别所在的直线EG和HF平行，由公理的推论3就可知它们共面.在△ABD和△CBD中，由E、G分别是BC和AB的中点及可得，所以EG∥HF,直线EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点P.因此，要证三条直线EF、GH、BD交于一点，只要证点P在直线BD上即可.事实上，由于BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，由公理2知P∈BD.23DHDHFCHA1225EG//AC,HF//AC证法1：(几何法)连结GE、HF.因为E、G分别为BC、AB的中点，所以GE∥AC.又因为DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，所以HF∥AC,所以GE∥HF.故G、E、F、H四点共面.又因为EF与GH不能平行，所以EF与GH相交，设交点为P.则P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，所以EF、GH、BD交于一点.证法2：(向量法)由所以，从而.1122EGBGBEBABC11,22(BABC)CA22225555FHDHDFDADC(DADC)CA45EGFHEG//FH故G、E、F、H四点共面.又因为EF与GH不能平行，所以EF与GH相交，设交点为P.则P∈平面ABD，P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD，所以EF、GH、BD交于一点.点评：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点.证明：因为E是AB的中点，F是A1A的中点，连结A1B.则EF∥A1B，所以EF∥D1C且EF=D1C，故四边形ECD1F是梯形，两腰CE，D1F相交，设其交点为P.12则P∈CE，又CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，根据公理3知，P∈AD，所以CE，D1F，DA三线共点.2.在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、AD、CD边上的点，且EF和GH相交于P点，求证：A、C、P三点共线.题型5共线问题证明：依据题意，A、B、C为不共线三点，由这三点确定一个平面.因为E、F分别是AB、BC上的点，所以E、F在平面ABC内，从而直线EF在平面ABC内.因为点P在直线EF上，所以点P在平面ABC内.同理，点P在平面ACD内.所以点P是平面ABC和平面ACD的一个公共点.因为平面ABC∩平面ACD=AC，所以点P在直线AC上，即A、C、P三点共线.点评：证多点共线问题，一般先取过两点的直线，然后证其他点在这条直线上；也可证明这些点均在两个平面的交线上.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1相交于O点，直线AC和BD相交于点M.求证：C1、O、M三点共线.证明：因为AA1∥CC1，所以AA1和CC1确定一个平面.显然，C1、O、M三点都在平面AA1C1C内.又C1、O、M三点都在平面BC1D内，所以C1、O、M三点在平面AA1C1C和平面BC1D的交线上，即三点共线.3.已知三条直线a、b、c两两互相平行，且分别与直线l相交于A、B、C三点，证明：四条直线l、a、b、c共面.证明：因为a∥b，b∥c，故设由a、b确定的平面为α，由b、c确定的平面为β.因为l∩a=A，l∩b=B，而A∈α，B∈α，所以l∩α.同理，l∩β.题型6共面问题点评：证明直线共面通常的方法是：①由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内(纳入法)；②过某些直线作多个平面，然后证明这些平面重合(重合法)；③也可利用共面向量定理来证明.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内.证明：(1)若a、b、c三线共点P，但点Pd，由d和其外一点可确定一个平面α.又a∩d=A,所以点A∈α,所以直线aα.同理可证：b、cα,所以a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点,因为a∩b=Q,所以a与b可确定一个平面β.又c∩b=E,所以E∈β,同理c∩a=F,所以F∈β,所以直线c上有两点E、F在β内,所以cβ.同理可证：dβ,故a、b、c、d共面.由(1)(2)知：两两相交且不通过同一点的四条直线必共面.对于空间五个不同的点，若任意四点都是共面的，求证：这五个点必共面.证明：设五个点分别为A、B、C、D、E，且A、B、C、D四点在平面α内，A、B、C、E四点在平面β内.(1)若A、B、C三点不共线，则平面α、β有三个不共线的公共点，所以α与β重合，从而五点共面.参考题参考题(2)若A、B、C三点共线，设所在直线为l.依据题意，A、B、D、E四点共面，则直线l在这个平面内，从而C点也在该平面内，故有五点共面.1.证明若干个点共线，常转化为证明这些点都是某两个平面的公共点，再根据公理2，这些点都在这两个平面的交线上，从而共线.2.证明若干条直线共点与证明若干个点共线是同一类问题，都可以转化为证明“点在直线上”(两条直线的交点在第三条直线上).3.证明某些点或直线共面，常用两种方法：一是先由其中的某些点或直线确定一个平面，再证其他点或直线都在这个平面内；二是先由其中的某些点或直线确定两个平面α、β，再证α、β重合.