9.2 标准正交基

第九章欧几氏空间§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§7向量到子空间的距离─最小二乘法§5子空间主要内容第二节标准正交基定义标准正交基的求法正交矩阵一、定义1.正交向量组的定义定义1欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组.特别地，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.2.正交向量组的性质定理1正交向量组是线性无关的.证明设1,2,…,m是一正交向量组，k1,k2,…,km是m个实数，且有k11+k22+…+kmm=0.用i与等式两边作内积，得ki(i,i)=0.由i0，有(i,i)0，从而ki=0(i=1,2,…,m).证毕1）这个结果说明，在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个.这个事实的几何意义是清楚的.例如，在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中，找不到四个两两垂直的非零向量.注意2)欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．12(,)10.12(1,1,0),(1,0,1)例如：中3R线性无关．但不是正交向量组.12,3.正交基的定义定义2在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.如：(0,,1,0,,0),(1,2,,)iin是Rn的一组标准正交基.4.正交基的性质性质1设1,2,…,n是一组标准正交基，则显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.反之，亦然.即设1,2,…,n是一组基，且则1,2,…,n是一组标准正交基，在n维欧氏空间中，标准正交基一定是存在的.定理2一组基为标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵为单位矩阵.性质2证明(i,)=(i,x11+x22+…+xnn)=(i,x11)+…+(i,xii)+…+(i,xnn)=x1(i,1)+…+xi(i,i)+…+xn(i,n)=xi(i,i)=xi.证毕性质3设1,2,…,n是一组标准正交基，向量在该基下的坐标为(x1,x2,…,xn),即=x11+x22+…+xnn，则xi=(i,)(i=1,2,…,n).性质4设1,2,…,n是一组标准正交基，且=x11+x22+…+xnn，=y11+y22+…+ynn，那么(,)=x1y1+x2y2+…+xnyn=XTY.(2)这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式的推广.1）应该指出，内积的表达式(2),对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所有的标准正交基在欧氏空间中有相同的地位.在下一节，这一点将得到进一步的说明.注意221||nxx2）特别地，在欧氏空间的任一标准正交基下，有2211||()()nnxyxy二、标准正交基的求法定理3n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证明设1,2,…,m是一正交向量组，我们对n-m作数学归纳法.当n-m=0时，1,2,…,m就是一组正交基.假设n-m=k时定理成立，也就是说，可以找到向量1,2,…,s,使得1,2,…,m,1,2,…,s成为一组正交基.现在来看n-m=k+1的情形.因为mn，所以一定有向量不能被1,2,…,m线性表出，作向量m+1=-k11-k22-…-kmm,这里k1,k2,…,km是待定的系数.用i与m+1作内积，得(i,m+1)=(,i)-ki(i,i)(i=1,2,…,m).取.),,2,1(),(),(mikiiii有(i,m+1)=0(i=1,2,…,m).由的选择可知，m+10.因此1,2,…,m,m+1是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2,…,m,m+1可以扩充成一正交基.证毕注意定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果我们从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交基.再单位化，就得到一组标准正交基.在求欧氏空间的正交基时，常常是已经有了空间的一组基.对于这种情形，有下面的结果：定理4对于n维欧氏空间中任意一组基1,2,…,n，都可以找到一组标准正交基1,2,…,n，使L(1,2,…,i)=L(1,2,…,i),i=1,2,…,n.证明设1,2,…,n是一组基，我们来逐个地求出向量1,2,…,n.首先，可取.||1111一般地，假定已经求出1,2,…,m，它们是单位正交的，具有性质L(1,2,…,i)=L(1,2,…,i),i=1,2,…,m.下一步求m+1.因为L(1,2,…,m)=L(1,2,…,m),所以m+1不能被1,2,…,m线性表出.按定理3证明中的方法，作向量miiimmm1111.),(显然m+10,且(m+1,i)=0，i=1,2,…,m.令.||111mmm则1,2,…,m,m+1就是一单位正交向量组.同时L(1,2,…,m+1)=L(1,2,…,m+1).由归纳法原理，定理2得证.证毕注意1）定理4中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特(Schimidt)正交化过程.2）施密特(Schimidt)正交化方法设1,2,…,m是一线性无关向量组，把它化为单位正交向量组.步骤1（正交化）12,,,.m化成正交向量组先把线性无关的向量组1,,m11,11(,),2,3,,;(,)jjijjiiiijm1,1,2,,||iiiim再单位化得标准正交向量组12,,,.m2122111(,),(,)步骤2（单位化）例1设123114231110,,,试用施密特正交化过程把这组向量变成单位正交的向量组.2122111111()45321(,)63111,;313233121122()()(,)(,),,.10121113512131014解取;11再把它们单位化,取111112||61e,222111||31e,333110||21e.则e1,e2,e3即为所求.推论1L(1,2,…,i)=L(1,2,…,i),i=1,2,…,n.就相当于由基1,2,…,n到基1,2,…,n的过渡矩阵是上三角形的.定理4中的要求.),,,(),,,(2122221112112121nnnnnnnnaaaaaaaaa三、正交矩阵设1,2,…,n与1,2,…,n是欧氏空间V中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是A=(aij)，即因为1,2,…,n是标准正交基，所以(i,j)=1,当i=j,0,当ij.(4)矩阵A的各列就是1,2,…,n在标准正交基1,2,…,n下的坐标，按公式(3)，(4)式可以表a1ia1j+a2ia2j+…+anianj=1,当i=j,0,当ij.(5)示为(5)式相当于一个矩阵的等式ATA=E，(6)或者A-1=AT.定义3n级实数矩阵A,如果满足则称A为正交矩阵.引理设1,2,…,n与1,2,…,n是欧氏空间V中的两组标准正交基，则它们之间的过渡矩阵A,满足ATA=E.ATA=E,3）矩阵A为正交矩阵A的列向量组是欧氏空间的标准正交基.nR1）A为正交矩阵1.A性质2）为正交矩阵nnAR1.AAa1ia1j+a2ia2j+…+anianj=1,当i=j,0,当ij.(5)定理51）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；2）如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基.ai1aj1+ai2aj2+…+ainajn=1,当i=j,0,当ij.(7)A的行向量组是欧氏空间的标准正交基.nR4）矩阵A为正交矩阵小结1.定义2.标准正交基的求法3.正交矩阵在中定义内积为4[]Rx11(,)()()fgfxgxdx求的一组标准正交基．4[]Rx(由基出发作正交化)231,,,xxx解:取2312341,,,xxx正交化1111练习1211(,)0,xdx2122111(,)(,)123112(,),3xdx1111(,)2,dx13321(,)0,xdx22333121023x22x313233121122(,)(,)(,)(,)13411(,)0,xdx144212(,),5xdx122212(,),3xdx1324311(,)()0,3xxdx43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)335xx25441232300122||2||6,,1222331184(,)()(),345310xdx1322441384(,)()(),5175514xxdx2单位化122212(,),3xdx1111(,)2,dx3444||,||.310514于是得的标准正交基4[]Rx11112,||222216||2x2333110(31)||2x3444114(53)||4xx思考题作业P3948;9