71点估计

,1.11niiXnX样本均值221212.()1()niiSXXnSS样本方差样本均方差标准差3.样本k阶矩k阶原点矩11nkkiimXnk阶中心矩11()nkkiiMXXn复习——常用统计量样本的数字特征1mX2221()较大nMSnSn(1)()()EXEX2()(2)()DXDXnn性质如果总体X的期望为，方差为2，则22(3)()()ESDX证(1)(2)11()()niiEXEXn11()niiEXn11niiEXn1nn11()()niiDXDXn211niiDXn211()niiDXn独立2221nnn2211(2)1iniiEXXXXn22111121innniiiiXXEXXn221121niiEXXnXnXn122(11)niiEXEXnn22222111()()1ninnn22()iiiDXXEXE2222()iiiEXDXXE2222()()EXDEXXn2211()1niiESEXXn211()1niiEXXn(3)..212,,,~(,)iidnXXXN(1)~0,1XNn,则222(1)(4)~(1)nSn(2)~(1)SXTtnn122212()()(3)~(2)11(1)(1)2XYtnmnSmSnmnm2221~(,),~(,)XNYN22112222(5)~(1,1)SFnmS221212~(,),~(,)XNYNu为标准正态分布的上分位数.PXu为标准正态分布的双侧分位数.2||PXu2u11(,)(,)FnmFmn2()n分布的上分位数T分布的上分位数t与双侧分位数t/2(,)Fnm的上分位数第七章在许多实际问题中遇到的随机变量(总体)往往是分布类型大体知道,但确切的形式并不知道.即总体分布已知,其中含有一个或多个未知参数.若能确定这些参数值,则总体分布完全确定.我们根据样本来估计这些参数,也就是从总体中取出一个样本,构造适当的样本函数,即统计量,对未知参数作出估计.例如,统计量作为总体均值的估计量,自然地用统计量的值作为总体均值的估计值.11niiXXn()EX11niixxn用估计量的值作为参数的估计值,这种做法称为点估计.有时要求估计参数在一个多大的范围内,并指出该参数以多大的概率(信度)被置于此范围内,这是参数的区间估计问题。这一章我们研究的就是参数的各种估计法以及如何评选问题。对于一个被估参数,可构造不同统计量作为其估计量.孰好孰差,这是估计量的评选问题.7.1点估计1ˆg(,,).nXX即注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.ˆ,定义设X1,…,Xn是总体X的一个样本,X的分布函数为F(x;),。其中为未知参数,为参数空间,若统计量g(X1,…,Xn)可作为的一个估计,则称其为的一个估计量，记为若x1,…,xn是样本的一个观测值,称为参数的估计值.在不致混淆的情况下统称估计量与估计值为估计,并都简记为ˆ1ˆ(,,)ngxx由于g(X1,…,Xn)是实数域上的一个点,现用它来估计,故称这种估计为点估计.点估计的经典方法是矩估计法(ME)与极大似然估计法(MLE).一、矩估计法（简称“矩法”ME）设总体X的分布函数为F(x,),为k维未知参数,并设随机变量X的k阶矩存在,其为的函数,记作矩估计是1900年英国统计学家K.Pearson提出的一种统计方法.其基本思想是:以样本矩代替相应的总体矩.12(,,,)Tk1,2,,ik12()(,,,),iiikEX1121221211211(,,,)1(,,,)1(,,,)inkiinkiinkkkiXnXnXn该方程组的解ˆME注1.用样本矩作为总体同阶矩的估计，即11nkkiiEXXn注2.约定:若是未知参数的矩估计,则g()的矩估计为g().则1ˆ(,,)inXXˆi即为参数的矩估计,记为例1：设X1,…,Xn为取自总体B(1,p),的样本，其中0p1未知，求p的矩估计。解:E(X)=pMEpX为参数p的矩估计解101(,)0xxfx其它1()EXxfxdxˆˆ1Xˆ1MEXX例2设总体X的概率密度为其中为未知参数，且0，试求的矩估计.X01P1-pp110xxdx1解:例3：总体X的均值及方差2都存在,,2均未知,X1,X2,…,Xn是总体的一个样本,试求,2的矩估计.22212,EXEX2221ˆX1niiXn＝222211ˆ11ˆ()MEnnMEiiiiXXXXXnn该题结果表明:总体均值与方差的矩估计的表达式不因不同的总体分布而异;两个未知参数的矩估计(以样本矩代替相应的总体矩)可以用样本均值估计总体期望,用样本二阶中心矩估计总体方差.例4.P133例7－4^^15.,,~(,),,.MEMEiidnXXUababab例设试求和解:21()()()212abEXDXba()3()()3()aEXDXbEXDX由:211()()()niiEXXDXXXn21213()3()niiniiaXXXnbXXXn例6.设总体X的概率密度为1()2xfxe解:||()02xxEXedx||22201()2xxxEXedxxedx20xxde02xxde2022xedxX1,…,Xn为样本,求参数的矩估计.02xxedx2211ˆniiXn212MEniiXn二、估计量的评选标准1.无偏性的估计量ˆ是样本),....,(21nXXX的函数，对于不同的观察值，ˆ求得的值不同，因此，ˆ的取值不一定等于所要估计的参数但从平均意义上讲，应该等于所估计的参数未知参数为的无偏估计(UE.)定义1ˆˆ(,,)nnXXL统计量满足ˆ,nEˆn称已证结论:1111()()(),nniiiiEXEXEXEXnnX即:样本均值是总体X期望的无偏估计量,样本方差S2是总体方差2的无偏估计量.22111[()],niinEXXnn2211[()]1niiEXXn.11nkkiimXn11()[]nkkikiEmEXn11ˆnkkikiXmn例1设总体X的k阶矩k=EXk存在,又设X1,X2,…,Xn是X的一个样本.试证明：不论总体X服从什么分布，k阶样本矩是k阶总体矩的无偏估计.证明1122ˆnnaXaXaXniXEXEi,,2,1,)()(1ˆ()()niiiEEaXniiiXaE1)(例2设总体X的数学期望E(X)=，X1,X2…Xn是来自X的一个样本，试证明：是的无偏估计量，其中a1,a2,…,an为任意121.naaa常数，且满足证明因为1niiiaEX2.有效性^^1^^^^1212(,,),1,2,,.iinXXiDD设分别是参数的两个无偏估计若则称比有效例3设分别为取自总体X的容量为n1,n2的两个样本的样本均值,求证:对任意实数a0,b0,a+b=1,统计量都是E(X)的无偏估计,并求a,b使所得统计量最有效21,XX21XbXa)()()()(:2121XEXbEXaEXbXaE解故对任意实数a0,b0,a+b=1,统计量都是E(X)的无偏估计21XbXa12()22(1)()0dhaaadann令211nnna121212nnabnnnn，))1(()(:2212nanaah记)()()()()(2212221221XDnbnaXDbXDaXbXaD22()0dhada而11niiaXˆniiniiniiibaba121221niiniininiianaa121212211)(1nanii112)ˆ()()()(1)(112DXaDXDaXDnXDniiiniiX正是由于这一原因，我们在实际问题中总是乐意用来作为数学期望E(X)的估计.较更有效.例4在例2中，证明无偏估计证明由柯西一施瓦兹不等式得12121212121221415()()()()3399913195()()()()441616811111()()()()22442DXXDXDXDXDXXDXDXDXDXXDXDXDX以例说明：；；12ˆ(,,,)nnXXX0定义为参数的估计量，ˆlim1nnP则称之为参数的相合估计.3.相合性(一致性)例5证明样本均值X是总体均值的一致估计证明设,1,)(1niiXnXXE由大数定理可知:(一致估计)1)(lim))1(lim1XPXnPnniin所以，样本均值是总体均值的一致估计。总结：从统计方法要求来看，我们自然要求一个估计量具有一致性，然而，用一致性来评价估计量好坏时，要求样本容量充分地大，但这一点在实际中往往办不到。无偏性直观、简便，但它不能体现与真值的偏离程度。有效性无论在直观上或理论上都比较合理。所以在使用上，这是用得比较多的一个评价标准。作业：P136：1P141：4，5第一节参数的点估计法设总体X的分布函数为F(x;,其中为总体的待估参数，),......,,21nXX(X是从总体X中随机抽取的一个样本，若由样本构造统计量),.....,ˆˆ2n1XX(X作为参数的估计，则称),.....,ˆ2n1XX(X为的点估计量,简称点估计.设),.....,(21nxxx是样本的一个观察值,代入统计量ˆ中，得到一个确定的值定义：假若总体的未知参数有r个，即),,,2r1(这时需要构造r个不同的统计量),....,(ˆ21niXXX),,2,1(ri，分别作为的点估计量，即12ˆ(,,,)inXXX),,2,1(ri下面我们介绍两种常用的点估计方法：矩估计法和极大似然估计法。称为参数点估计值。),.....,(ˆ21nxxxiˆi例3总体数学期望的无偏估计),,,2,1(,niXXi321613121XXX中，哪一个估计量最有效？解2187)3(361)2(91)1(41)361231121(XDXDXDXXXDnXDniiXD2)(),,,2,1(2)(比较上述估计量的方差,可见)3(2nn最小,所以X最有效。