12.12.1离散型随机变量的数学期望

一、复习回顾1.离散型随机变量的分布列XP1xix2x······1p2pip······2.离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”3.离散型随机变量的分布列:确定随机变量相关事件的概率。例如,某班同学在一次数学测验中的总体水平---------平均分----------方差.期望；1、某人射击10次,所得环数分别是:1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？2104332221111X把环数看成随机变量的概率分布列：X1234P10410310210121014102310321041X权数加权平均二、互动探索2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？X182436P把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：636261)/(23613631242118kgX元按3：2：1的比例混合18元/kg混合糖果中每一粒糖果的质量都相等24元/kg36元/kg定价为混合糖果的平均价格才合理按3：2：1的比例混合18元/kg24元/kg36元/kgm千克混合糖果的总价格为18×+24×+36×36m26m16m平均价格为321182436666321182436666mmmm　　元＝２3kg按3：2：1的比例混合18元/kg24元/kg36元/kg把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：X182436P63626132118243623(/)666Xkg元18(18)24(24)36(36)23(/)XPXPXPXkg元1、离散型随机变量取值的平均值数学期望一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:nniipxpxpxpxEX2211则称为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.P1xix2x······1p2pip······nxnpX设Y＝aX＋b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量．(1)Y的分布列是什么？(2)EY=？思考：P1xix2x······1p2pip······nxnpXnniipxpxpxpxEX2211P1xix2x······1p2pip······nxnpXP1xix2x······1p2pip······nxnpXYbax1baxibax2······baxnnnpbaxpbaxpbaxEY)()()(2211)()(212211nnnpppbpxpxpxabaEX2、数学期望的性质baEXbaXE)(练一练1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.1例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？X=1或X=0P(X=1)=0.7X10P0.70.310.700.30.7EX三、例题讲解一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么EX=？10(1)EXppp一般地，如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则pppEX)1(01小结：例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33.0解：(1)X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0(2)322321337.033.07.023.07.013.00CCEX1.2EX7.03例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33.0解：(1)X～B（3，0.7）2133.07.0C3.07.0223C37.0(2)322321337.033.07.023.07.013.00CCEX1.2EX7.03如果X~B（n，p），那么EX=？一般地,如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则小结：npEX练一练:一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次数的数学期望是.3证明：n),0,1,2,(kqpCk)P(ξknkkn0nnnknkkn1n11nn00nqpnCqpkCqpC1qpC0Eξ)qpCqpCqpCqpnp(C01n1n1n1)(k1)(n1k1k1n2n111n1n001n所以若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np．证明：若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np1().nnppqnp例3.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中摸出3个球.（1）求得到黄球个数ξ的分布列；（2）求ξ的期望。解：(1)ξ服从超几何分布ξ012P032335CCC122335CCC212335CCC163(2)0121.2101010E小结：一般地,如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则NnMXE0.030.97P1000－a1000E=1000－0.03a≥0.07a得a≤10000故最大定为10000元。1、若保险公司的赔偿金为a（a＞1000）元,为使保险公司收益的期望值不低于a的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？四、巩固练习2、随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润为.（1）求的分布列.（2）求1件产品的平均利润.3、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射击,他射中目标的概率是0.7,若枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望.(保留三个有效数字)0.340.33×0.70.32×0.70.3×0.70.7p54321E=1.434、若对于某个数学问题,甲,乙两人都在研究,甲解出该题的概率为2/3,乙解出该题的概率为4/5,设解出该题的人数为X,求E(X).5.一次英语单元测验由20个单项选择题构成,每个选择题有4个选项,每题选择正确答案得5分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望.6.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数的分布列为：12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元，分2期或3期付款，其利润为250元，分4期或5期付款，其利润为300元，表示经销一件该商品的利润。（1）求事件A：”购买该商品的3位顾客中，至少有一位采用1期付款”的概率P(A)；（2）求的分布列及期望E。五、课堂小结一、离散型随机变量取值的平均值数学期望nniipxpxpxpxEX2211P1xix2x······1p2pip······nxnpX二、数学期望的性质baEXbaXE)(三、如果随机变量X服从两点分布，X10Pp1－p则pEX四、如果随机变量X服从二项分布，即X～B（n,p），则npEX五、如果随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,即X～H(n,M,N),则NnMEX本讲到此结束,请同学们课后再做好复习.谢谢！奎屯王新敞新疆·2007·新疆奎屯[e-mail]特级教师王新敞源头学子小屋六、作业①课堂作业:课本:P243,练习A与B②预习:正态分布P243-244