【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 3.2导数的应用(一)课件 理 新人教A版

§3.2导数的应用（一）数学川（理）第三章导数及其应用1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理f′(x)0f′(x)01．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程的根；③检查f′(x)在方程的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．f′(x)0f′(x)0f′(x)＝0f′(x)＝0极大值极小值3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．f(a)f(b)f(a)f(b)(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的；②将f(x)的各极值与进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理2．f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．极值f(a)，f(b)题号答案解析123453[－3，＋∞)CB基础知识·自主学习基础自测②③【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．题型分类·深度剖析题型一利用导数研究函数的单调性思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型一函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．思维启迪解析探究提高利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．题型分类·深度剖析题型一解f′(x)＝ex－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0，即f(x)在R上递增，若a0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna.因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R，当a0时，f(x)的单调增区间是[lna，＋∞)．(2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．思维启迪解析探究提高利用导数研究函数的单调性∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2x3，∴e－2exe3，只需a≥e3.当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上为减函数．题型分类·深度剖析题型一(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)0和f′(x)0；④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间．(2)要注意对含参数的函数的单调性进行讨论；(3)对已知函数的单调性的问题一定要掌握导数的条件．思维启迪解析探究提高利用导数研究函数的单调性【例1】已知函数f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．变式训练1已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.题型分类·深度剖析由f′(x)≥0，得a≤32x－1x.记t(x)＝32x－1x，当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝32(1－1)＝0.∴a≤0.(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x1＝－13，x2＝3.变式训练1已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：题型分类·深度剖析x(－∞，－13)－13(－13，3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴f(x)的单调递增区间为－∞，－13，[3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为－13，3.【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值(1)单调区间即为f′(x)0，f′(x)0的解区间．(2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个．思维启迪解析探究提高【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值解(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－12x＋3＝3(x－2＋3)(x－2－3)．思维启迪解析探究提高当x∈(－∞，2－3)时，f′(x)0，f(x)在(－∞，2－3)上单调递增；当x∈(2－3，2＋3)时，f′(x)0，f(x)在(2－3，2＋3)上单调递减；当x∈(2＋3，＋∞)时，f′(x)0，f(x)在(2＋3，＋∞)上单调递增．综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－3，2＋3)．【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值(2)f′(x)＝3x2－6ax＋3＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；思维启迪解析探究提高当1－a20时，f′(x)＝0有两个根x1＝a－a2－1，x2＝a＋a2－1.由题意，知2a－a2－13，①或2a＋a2－13，②①无解，②的解为54a53，因此a的取值范围为(54，53)．题型分类·深度剖析题型二利用导数研究函数的极值(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)本题的易错点为不对1－a2进行讨论，致使解答不全面．思维启迪解析探究提高【例2】已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．变式训练2(2011·安徽)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解对f(x)求导得f′(x)＝ex·1＋ax2－2ax1＋ax22.①题型分类·深度剖析(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①，可知x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值变式训练2(2011·安徽)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．所以x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．题型分类·深度剖析(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.所以a的取值范围为{a|0a≤1}．【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x)．(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝23时y＝f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用导数求函数的最值思维启迪解析探究提高题型分类·深度剖析题型三利用导数求函数的最值(1)构建方程f′(1)＝3，f′23＝0，求得a，b，进而确定函数f(x)的解析式．(2)列出f′(x)与f(x)的变化表，比较端点值和极值的大小．思维启迪解析探究提高【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x)．(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝23时y＝f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x)．(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝23时y＝f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用导数求函数的最值思维启迪解析探究提高解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.依题意f′(1)＝3，f′23＝0，得3＋2a＋b＝3，3·232＋43a＋b＝0，解之得a＝2，b＝－4.所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23.【例3】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，记f(x)的导数为f′(x)．(1)若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝23时y＝f(x)有极值，求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．题型分类·深度剖析题型三利用导数求函数的最值思维启迪解析探究提高当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：∴f(x)在