2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第2章 第13节 定积分与微积分基本定理

上一页返回首页下一页高三一轮总复习课时分层训练抓基础·自主学习第十三节定积分与微积分基本定理明考向·题型突破[考纲传真]1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式∑ni＝1f(ξi)Δx＝∑ni＝1b－anf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作，即abf(x)dx＝．abf(x)dxlimn→∞∑ni＝1b－anf(ξi)上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)有关概念在abf(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做，叫做被积式．[a，b]积分变量f(x)dx上一页返回首页下一页高三一轮总复习f(x)abf(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的的面积f(x)＜0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积位于x轴下方的曲边梯形的面积(3)定积分的几何意义曲边梯形相反数减去上一页返回首页下一页高三一轮总复习2.定积分的性质(1)abkf(x)dx＝kabf(x)dx(k为常数)；(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝；(3)abf(x)dx＝acf(x)dx＋(其中acb)．abf1(x)dx±abf2(x)dxcbf(x)dx上一页返回首页下一页高三一轮总复习3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，常把F(b)－F(a)记作，即abf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．F(b)－F(a)F(x)|ba上一页返回首页下一页高三一轮总复习1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.()(2)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝20af(x)dx.()(3)若f(x)是奇函数，则a－af(x)dx＝0.()[答案](1)√(2)√(3)√上一页返回首页下一页高三一轮总复习2．(教材改编)已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是()A．10t20B.5t20C.103t20D.53t203．(2017·长沙模拟(一))01exdx＝________.e－1[01exdx＝ex|10＝e－1.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习4．(2015·天津高考)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．16[如图，阴影部分的面积即为所求．由y＝x2，y＝x，得A(1,1)．故所求面积为S＝01(x－x2)dx＝12x2－13x3|10＝16.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习5．若0Tx2dx＝9，则常数T的值为________．3[∵0Tx2dx＝13T3＝9，T＞0，∴T＝3.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习定积分的计算计算下列定积分．(1)－11(x2＋sinx)dx；(2)02|1－x|dx.上一页返回首页下一页高三一轮总复习[解](1)－11(x2＋sinx)dx＝－11x2dx＋－11sinxdx＝201x2dx＝2·x33|10＝23.6分上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)02|1－x|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－12x2|10＋12x2－x|21＝1－12－0＋12×22－2－12×12－1＝1.12分上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分；(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练1](1)(2017·石家庄质检(二))－11(x2＋1－x2)dx＝________.(2)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e(e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为________.【导学号：01772093】(1)π2＋23(2)43[(1)原式＝－11x2dx＋－111－x2dx＝13x3|1－1＋－111－x2dx＝23＋－111－x2dx，－111－x2dx等于半径为1的圆面积的12，即－111－x2dx＝π2，故原式＝π2＋23.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)∵f(x)＝x2，x∈[0，1]，1x，x∈1，e，∴0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x3|10＋lnx|e1＝13＋lne＝43.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习利用定积分求平面图形的面积(1)曲线y＝－x＋2，y＝x与x轴所围成的面积为________．(2)已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________.【导学号：01772094】上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)76(2)2[(1)如图所示，由y＝x及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝x，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为01xdx＋12(－x＋2)dx＝23x|10＋2x－x22|21＝76.上一页返回首页下一页高三一轮总复习(2)由y＝x2，y＝kx，得x＝0，y＝0或x＝k，y＝k2，则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为0k(kx－x2)dx＝k2x2－13x3|k0＝k32－13k3＝43，即k3＝8，∴k＝2.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练2](1)(2016·山东威海一模)曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成的封闭区域的面积为________．(2)抛物线y2＝4x与直线y＝2x－4围成的平面图形的面积为________．上一页返回首页下一页高三一轮总复习(1)2(2)9[(1)由题意知封闭区域的面积S＝0πsinxdx＝－cosx|π0＝－cosπ－(－cos0)＝1－(－1)＝2.(2)由y2＝4x，y＝2x－4，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4.画出草图如图所示．上一页返回首页下一页高三一轮总复习选用x为积分变量所求面积为01[2x－(－2x)]dx＋14(2x－2x＋4)dx＝4×23x|10＋2×23x|41－x2|41＋4x|41＝83＋323－43－(16－1)＋(16－4)＝9.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋251＋t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5B.8＋25ln113C．4＋25ln5D.4＋50ln2上一页返回首页下一页高三一轮总复习C[由v(t)＝7－3t＋251＋t＝0，可得t＝4t＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4s，此期间行驶的距离为04v(t)dt＝047－3t＋251＋tdt＝7t－32t2＋25ln1＋t|40＝4＋25ln5.]上一页返回首页下一页高三一轮总复习[规律方法]定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝abv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝abF(x)dx.上一页返回首页下一页高三一轮总复习[变式训练3]一物体在力F(x)＝5，0≤x≤2，3x＋4，x＞2(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为________J.36[由题意知，力F(x)所做的功为W＝04F(x)dx＝025dx＋24(3x＋4)dx＝5×2＋32x2＋4x|42＝10＋32×42＋4×4－32×22＋4×2＝36(J)．]上一页返回首页下一页高三一轮总复习[思想与方法]1．求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．上一页返回首页下一页高三一轮总复习[易错与防范]1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．