2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换理

1第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简例1(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝.(2)已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝.答案(1)12cos2x(2)4－3310解析(1)原式＝124x－4cos2x＋2×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2x－24sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(2)由题意可得，cos2θ＋π4＝1＋cos2θ＋π22＝110，cos2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cosθ＋π4＝10100，θ∈0，π2，所以0θπ4，2θ∈0，π2，根据同角三角函数基本关系式可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式可得sin2θ－π3＝sin2θcosπ3－cos2θsinπ3＝4－3310.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特2征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)已知cos(x－π6)＝－33，则cosx＋cos(x－π3)＝.(2)若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A.118B．－118C.1718D．－1718答案(1)－1(2)D解析(1)cosx＋cos(x－π3)＝cosx＋12cosx＋32sinx＝32cosx＋32sinx＝3cos(x－π6)＝3×(－33)＝－1.(2)cos2α＝sinπ2－2α＝sin2π4－α＝2sinπ4－αcosπ4－α代入原式，得6sinπ4－αcosπ4－α＝sinπ4－α，∵α∈π2，π，∴cosπ4－α＝16，∴sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1＝－1718.题型二三角函数的求值命题点1给值求值问题例2(1)(2017·合肥联考)已知α，β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314，则cosβ3＝.答案12解析∵α为锐角，∴sinα＝1－172＝437.∵α，β∈(0，π2)，∴0α＋βπ.又∵sin(α＋β)sinα，∴α＋βπ2，∴cos(α＋β)＝－1114.cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝4998＝12.(2)(2015·广东)已知tanα＝2.①求tan(α＋π4)的值；②求sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1的值．解①tan(α＋π4)＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.②sin2αsin2α＋sinαcosα－cos2α－1＝2sinαcosαsin2α＋sinαcosα－2cos2α＝2tanαtan2α＋tanα－2＝2×24＋2－2＝1.命题点2给值求角问题例3(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π44(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为．答案(1)C(2)－3π4解析(1)∵α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝220.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(3π2，2π)，∴α＋β＝7π4.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tanβ1－α－ββ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，5∴2α－β＝－3π4.引申探究本例(1)中，若α，β为锐角，sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β＝.答案π4解析∵α，β为锐角，∴cosα＝255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22.又0α＋βπ，∴α＋β＝π4.思维升华(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．(1)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝.(2)(2016·成都检测)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋β的值是()A.7π4B.5π4C.5π4或7π4D.3π2答案(1)268(2)A解析(1)∵α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，6∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cosαα＋cosα2＋2α－sin2α＝268.(2)因为α∈[π4，π]，sin2α＝550，所以2α∈[π2，π]，所以cos2α＝－255且α∈[π4，π2]，又因为sin(β－α)＝10100，β∈[π，3π2]，所以β－α∈[π2，π]，所以cos(β－α)＝－31010，因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos2α＋cos(β－α)sin2α＝1010×(－255)＋(－31010)×55＝－22，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝(－31010)×(－255)－1010×55＝22，又α＋β∈[5π4，2π]，所以α＋β＝7π4，故选A.题型三三角恒等变换的应用例4(2016·天津)已知函数f(x)＝4tanxsinπ2－x·cosx－π3－3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－π4，π4上的单调性．解(1)f(x)的定义域为{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}．7f(x)＝4tanxcosxcosx－π3－3＝4sinxcosx－π3－3＝4sinx12cosx＋32sinx－3＝2sinxcosx＋23sin2x－3＝sin2x＋3(1－cos2x)－3＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)令z＝2x－π3，则函数y＝2sinz的单调递增区间是－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z.由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z.设A＝－π4，π4，B＝{x|－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝－π12，π4.所以当x∈－π4，π4时，f(x)在区间－π12，π4上单调递增，在区间－π4，－π12上单调递减．思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．(1)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为．(2)函数f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x的最小正周期是．答案(1)1(2)π解析(1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.8(2)f(x)＝22sin2x－22cos2x－2(1－cos2x)＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin(2x＋π4)－2，∴T＝2π2＝π.9．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例(12分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．思想方法指导(1)讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数．(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决．规范解答解(1)f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＝cosxsinx－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32，[4分]因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分](2)当x∈π6，2π3时，0≤2x－π3≤π，[7分]从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增，[9分]当π2≤2x－π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减．[11分]9综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．[12分]1．(2016·青岛模拟)设tan(α－π4)＝14，则tan(α＋π4)等于()A．－2B．2C．－4D．4答案C解析因为tan(α－π4)＝tanα－11＋tanα＝14，所以tanα＝53，故tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝－4，故选C.2．(2016·全国甲卷)若cosπ4－α＝35，则sin2α等于()A.725B.15C．－15D．－725答案D解析因为sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1，又因为cosπ4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725，故选D.3．(2016·福州模拟)已知tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6答案D解析sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝2×3＝6.4．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2α0，则2sin2α＋sin2αα－π4等于()A．－255B．－3510C．－31010D.255答案A10解析由tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝12，得tanα＝－13.又－π2α0，所以sinα＝－1010.故2sin2α＋sin2αα－π4＝2sinαα＋cosα22α＋cosα＝22sinα＝－255.5．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2答案B解析由tanα＝1＋sinβcosβ，得sinαcosα＝1＋sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，