2018版高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题课件理

高考专题突破三高考中的数列问题考点自测课时作业题型分类深度剖析内容索引考点自测1.(2016·广州模拟)数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为答案解析设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a23＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝a3a1＝a1＋2da1＝2a1a1＝2.A.2B.4C.2D.122.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为A.100101B.99101C.99100D.101100答案解析3.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为_____.答案解析13设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0，又q≠0，∴q＝.134.(2015·课标全国Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.答案解析－1n由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因为Sn≠0，所以Sn＋1－SnSnSn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1，故数列1Sn是以1S1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1Sn＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－1n.5.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N＋都有Sn＝23an－13，若1Sk9(k∈N＋)，则k的值为________.答案解析4题型分类深度剖析例1(2016·四川)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q0，n∈N＋.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；题型一等差数列、等比数列的综合问题解答(2)设双曲线x2－y2a2n＝1的离心率为en，且e2＝2，求e21＋e22＋…＋e2n.解答由(1)可知，an＝qn－1，所以双曲线x2－y2a2n＝1的离心率en＝1＋a2n＝1＋q2n－1.由e2＝1＋q2＝2，解得q＝3，所以e21＋e22＋…＋e2n＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋q2n－1q2－1＝n＋12(3n－1).＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.思维升华跟踪训练1已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N＋)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；解答32(2)设Tn＝Sn－(n∈N＋)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解答1Sn题型二数列的通项与求和例2已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；证明解答(2)求数列{bn}的通项公式.由(1)可知cn＝(－12)·(12)n－1＝－(12)n，∴an＝cn＋1＝1－(12)n.＝1－(12)n－[1－(12)n－1]＝(12)n－1－(12)n＝(12)n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1又b1＝a1＝12，代入上式也符合，∴bn＝(12)n.(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.思维升华跟踪训练2已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an.(1)证明：数列{}是等比数列；n＋12n12证明∵a1＝12，an＋1＝n＋12nan，当n∈N＋时，ann≠0.又a11＝12，an＋1n＋1∶ann＝12(n∈N＋)为常数，∴{ann}是以12为首项，12为公比的等比数列.ann(2)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn.解答题型三数列与其他知识的交汇例3已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图像过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N＋，数列{an}满足1an＋1＝f′1an，且a1＝4.(1)求数列{an}的通项公式；解答命题点1数列与函数的交汇(2)记bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解答例4设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N＋.(1)求a1的值；解答命题点2数列与不等式的交汇令n＝1代入得a1＝2(负值舍去).解答(2)求数列{an}的通项公式；得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.又已知数列{an}各项均为正数，故Sn＝n2＋n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，当n＝1时，a1＝2也满足上式，∴an＝2n，n∈N＋.由S2n－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N＋，(3)证明：对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1anan＋113.证明命题点3数列应用题例5(2016·长沙模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；解答(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解答数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.思维升华(2)数列与不等式的交汇问题①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；③比较方法：作差或者作商比较.(3)数列应用题①根据题意，确定数列模型；②准确求解模型；③问题作答，不要忽视问题的实际意义.跟踪训练3设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N＋).(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；解答所以Sn＝na1＋nn－12d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.由已知，得b7＝，b8＝＝4b7，有＝4×＝.解得d＝a8－a7＝2.72a82a82a72a722a(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列anbn的前n项和Tn.解答课时作业1.(2016·北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；解答12345解答(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.设数列{cn}的前n项和为Sn.∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×1－3n1－3＝2×n＋1n2－n＋3n－12＝n2＋3n－12.即数列{cn}的前n项和为n2＋3n－12.123452.(2016·全国甲卷)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，解得a1＝1，d＝25.所以{an}的通项公式为an＝2n＋35.设数列{an}的首项为a1，公差为d，12345解答(2)设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解答123453.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N＋).(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；解答在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N＋)中分别令n＝1,2,3，得a1＝2a1－1，a1＋a2＝2a2＋1，a1＋a2＋a3＝2a3－1，解得a1＝1，a2＝0，a3＝2.12345(2)求证：数列{an＋(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式.23证明123454.已知正项数列{an}中，a1＝1，点(，an＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上，数列{bn}的前n项和Sn＝2－bn.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；an解答12345(2)设cn＝－1an＋1log2bn＋1，求{cn}的前n项和Tn.解答123455.在等比数列{an}中，an0(n∈N＋)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列{an}的通项公式；解答12345(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；解答∵bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，b1＝log2a1＝log216＝log224＝4，∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴Sn＝n9－n2.12345(3)是否存在k∈N＋，使得S11＋S22＋…＋Snnk对任意n∈N＋恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由.12345解答