高中数学必修5自主学习导学案：3.4基本不等式

3.4基本不等式（教师版）1．新课引入如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能从这个图中找到一些相等关系或不等关系吗？问1：在正方形ABCD中，设,AEaBEb，则正方形的面积为22Sab．问2：Rt△AGB，Rt△BFC，Rt△CED，Rt△AHD是全等三角形，它们的面积和2Sab.问3：S与S有什么样的关系？从图形中易得，SS，即222abab．当ab时，即直角三角形变成了等腰直角三角形，正方形EFGH缩为一个点，此时222abab．2．基本不等式与重要不等式由上面的式子，我们可以得到下列重要不等式：重要不等式：一般地，对任意的实数a，b，我们有：222abab，当且仅当ab时，等号成立．思考：若0,0ab，那么我们用a，b代替a，b，会得到什么结论呢？基本不等式：若0,0ab，那么2abab，即2abab，等且仅当ab时，等号成立．证明：22()0222ababababab，当且仅当ab时，02abab，所以2abab，等且仅当ab时，等号成立．说明：我们常把2ab叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．（1）适用范围：0,0ab；（2）阐释：两数的算术平均数大于等于两数几何平均数；（3）当且仅当ab时，等号成立．3．公式的应用【典例】（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：（1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：知xy，求min2()xy；（2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：知2()xy，求maxxy．解：（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则100xy，篱笆的长为2()xym．2xyxy，210020xy，2()40xy，等号当且仅当xy时成立，此时10xy．因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m．（2）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2()36xy，18xy，18922xyxy，得81xy．当且仅当xy，即9xy时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2．点评：（1）两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值；（2）两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值．※典型例题考点1．利用基本不等式求最值．已知x，y都是正数，(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．注意：应用基本不等式2abab求最值的条件：（1）一正：a与b为正实数；（2）二定：积定和最小，和定积最大；（3）三相等：若等号成立，a与b必须能够相等．【例1】已知x、y都是正数，求证：2yxxy．证明：0,0xy，0,0yxxy，22yxyxxyxy．变式1．若x0，当x=3时，函数3yxx的最小值是23．变式2．若x0，当x=23时,函数49yxx有最小值12．解析：0x，4492912yxxxx，当且仅当49xx，即23x时取等号；min12y变式3．变式3．若0x，函数3()fxxx的最大值为___________．解析：0x，0x，333()()[()]fxxxxxxx，因为323xx，所以3()[()]23fxxx，max()23fx，当且仅当3x时取等．考点2．基本不等式的变形使用【例2】(1)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．（2）已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．（3）已知：103x，求函数()(13)fxxx的最大值分析：(1)对4x－2进行拆、凑，使函数能够满足基本不等式求最值的条件，即积为定值．(2)有两种方法：法一：利用“1”的代换进行变形，创造使用基本不等式的条件，法二：将x、y消去一个变量，构造成能使用基本不等式的形式．（3）利用3x+1-3x=1为定值和为定值处理.解析：(1)∵x54，∴5－4x0，∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x时，即x＝1时，上式等号成立，故x＝1时，ymax＝1.(2)法一：(“1”的代换)∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝10＋yx＋9xy.∵x0，y0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x，取“＝”．又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.法二：∵1x＋9y＝1，∴x＝yy－9，∵x0，y0，∴y9.∴x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝y－9＋9y－9＋10.∵y9，∴y－90.∴y－9＋9y－9≥2y－9×9y－9＝6.当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时，取“＝”，此时x＝4.∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.（3）∵3(13)1xx为定值，且103x，则130x，可用均值不等式法∵103x，∴130x，2113131()(13)3(13)()33212xxfxxxxx，当且仅当3(13)xx，即16x时，max1()12fx．变式1．已知1x，求2()1fxxx的最小值．解：2()1fxxx2(1)11xx22(1)12211xx，当且仅当1211xxx，即21x，函数的最小值为221变式2．已知x0，y0，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．解析：∵x＋2y＝1，且x0，y0，∴1x＋1y＝(x＋2y)1x＋1y＝1＋2＋xy＋2yx≥3＋22，当且仅当xy＝2yx，即x2＝2y2时取“＝”．x＋2y＝1，x2＝2y2，x0，y0，解得x＝2－1，y＝1－22.即x＝2－1，y＝1－22时，1x＋1y取最小值3＋22.变式3．(1)已知t0，则函数y＝t2－4t＋1t的最小值为________．(2)已知x，y∈R*，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．解析：(1)y＝t＋1t－4≥t·1t－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝t2－4t＋1t(t0)的最小值是－2.(2)因为x0，y0，x3＋y4＝1，所以x3＋y4≥2x3·y4＝xy3当且仅当x3＝y4＝12，即x＝32，y＝2时取等号，即xy3≤1，解得xy≤3，所以xy的最大值为3.变式4．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()A．最大值54B．最小值54C．最大值1D．最小值1解析：由已知f(x)＝x2－4x＋52x－4＝x－22＋12x－2＝12x－2＋1x－2，∵x≥52，x－20，∴12x－2＋1x－2≥12·2x－2·1x－2＝1，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时取等号．故f(x)的最小值为1，选D.考点3．利用基本不等式证明不等式【例3】已知a，b，c都是实数．求证：a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.分析：运用基本不等式可得出a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，然后再利用不等式的性质即可得证．证明：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ac)，①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.②在不等式①两边同时加上a2＋b2＋c2，得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，∴a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2.③在不等式②两边同时加上2ab＋2bc＋2ac，得(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)，∴13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.④由③④，得a2＋b2＋c2≥13(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac.变式1．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b22abB．a＋b≥2abC.1a＋1b2abD.ba＋ab≥2解析：当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A不正确；当a0，b0时，a＋b2ab，故B不正确；C也不正确；只有D正确．变式2．已知a、b、c为正数，a＋b＋c＝1，且不全相等，求证：1a＋1b＋1c9.解析：∵a，b，c为正数，∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋cb＋bc＋ca＋ac≥3＋2＋2＋2＝9，∵a，b，c不全相等，∴“＝”不成立．即1a＋1b＋1c9.变式3．若a、bR，1ba，求证：425)1)(1(bbaa．证明：因为a、bR，所以1111()()2baababababababab，又1ba，所以2124abab，所以111511151724161616164ababababab，即425)1)(1(bbaa．考点4．利用基本不等式比较大小【例4】设a、b∈(0，＋∞)，试比较a＋b2，ab，a2＋b22，21a＋1b的大小．分析：先利用特殊值探究四个式子的大小，再用基本不等式证明．解析：∵a、b∈(0，＋∞)，∴1a＋1b≥21ab，即21a＋1b≤ab，当且仅当1a＝1b，即a＝b时等号成立．又∵a2＋b22≥a2＋b2＋2ab4＝a＋b22＝a＋b2，∴a＋b2≤a2＋b22，当且仅当a＝b时等号成立．而ab≤a＋b2，于是21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.当且仅当a＝b时等号成立．变式1．下列不等式一定成立的是()A．lgx2＋14lgx(x0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋11(x∈R)解析：取x＝12，则lgx2＋14＝lgx，故排除A；取x＝32π，则sinx＝－1，故排除B；取x＝0，则1x2＋1＝1，故排除D.应选C.考点5．基本不等式的实际应用【例5】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，面粉的价格为1800元/吨，面粉的保管费等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．(1)该厂每隔多少天购买一次面粉才能使平均每天所支付的总费用最少？(注：每隔几天购买面粉的意思是购买面粉的量应够以后几天的使用)(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，则该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．解析：(1)设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．由题意知，面粉的保管费等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)，设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1＝1x[9x(x＋1)＋900＋6x×1800]＝900x＋9x＋10809≥2900x·9x＋10809＝10989，当且仅当9x＝900x，即x＝10时取等号，即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则y2＝1x[9x(x＋1)＋900