高中数学必修一： 第1讲 集合的概念和运算

集合的概念与运算考点梳理(1)集合元素的三个特征：确定性、_______、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号____或____表示．(3)集合的表示法：列举法、_______、图示法、区间法．(4)常用数集：自然数集N；正整数集N＋(或N*)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、_____．1．集合的基本概念互异性∈∉描述法空集(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A___B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A____B(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的_____，是任何非空集合的_______．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.2．集合间的基本关系子集真子集⊆(1)并集：A∪B＝{x|______________}．(2)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁UA＝{x|_____________}，U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．(4)集合的运算性质3．集合的基本运算及其性质x∈A，或x∈Bx∈U，且x∉AA．{5}B．{4}C．{1,2}D．{3,5}解析由题图可知阴影部分为集合(∁UA)∩B，∵∁UA＝{3,5,6}，∴(∁UA)∩B＝{3,5}．答案D4．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为()．解析A＝{x|－5x1}，因为A∩B＝{x|－1xn}，B＝{x|(x－m)(x－2)0}，所以m＝－1，n＝1.答案－115．(2012·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.[审题视点]结合元素的互异性与集合相等入手．考向一集合的基本概念【例1】►已知a∈R，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2014＋b2014＝________.解析由已知得ba＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2014＋b2014＝1.考向二集合间的基本关系[审题视点]若B⊆A，则B＝∅或B≠∅，要分两种情况讨论．解当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．【例2】►已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．则m＋1≥－2，2m－1≤7，m＋12m－1，解得2m≤4.综上，m的取值范围为m≤4.【训练2】已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.答案4【例3】►设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是________.考向三集合的基本运算[审题视点]本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁UA)∩B＝∅对集合A，B的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.一、集合与不等式交汇问题的解题策略【真题探究1】►(2012·北京)已知集合A＝{x∈R|3x＋20}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)0}，则A∩B＝()．A．(－∞，－1)B.－1，－23C.－23，3D．(3，＋∞)【试一试1】已知全集U＝{y|y＝log2x，x1}，集合P＝y|y＝1x，x3，则∁UP＝()．A.13，＋∞B.0，13C．(0，＋∞)D．(－∞，0)∪13，＋∞答案A解析因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上为增函数，所以当x1时，ylog21＝0，故U＝(0，＋∞)；因为函数y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，故当x3时，0y13，故P＝0，13.显然P⊆U，故∁UP＝13，＋∞，所以选A.[教你解题]第1步解出A＝x|x－23；第2步解出B＝{x|x3或x－1}；第3步结合数轴取交集，得A∩B＝(3，＋∞)．[答案]D[反思]应牢固掌握一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的解法．二、集合中新定义问题的求解策略【真题探究2】►(2012·新课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．A．3B．6C．8D．10[教你审题]解决本题的关键是准确理解集合B.集合B中的元素是符合x∈A，y∈A，x－y∈A的有序数对(x，y)．A．5B．4C．3D．2答案C3．(2012·江西)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()．[解法]可用列表法也可用直接法(学生自己试一试)yx1234510－1－2－3－4210－1－2－33210－1－243210－1543210A．2014B．0C．－2014D．ln2014＋e2014【试一试2】定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{－2014,0,2014}，B＝{lna，ea}，则集合A*B的所有元素之和为()．当x＝－2014，y＝ea时，z＝(－2014)×ea＝－2014ea；当x＝2014，y＝ea时，z＝2014×ea＝2014ea；故AB＝{0,2014lna，－2014lna,2014ea，－2014ea}．所以AB的所有元素之和为0.答案B解析因为A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，所以当x＝0时，无论y取何值，都有z＝0；当x＝－2014，y＝lna时，z＝(－2014)×lna＝－2014lna；当x＝2014，y＝lna时，z＝2014×lna＝2014lna；