高中数学必修一： 第2讲 函数的单调最值及奇偶性

函数的单调性最值及奇偶性考点梳理(1)单调函数的定义1．函数的单调性增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1＜x2时，都有___________，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1＜x2时，都有____________，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)图像描述自左向右看图像是上升的自左向右看图像是下降的(2)单调区间的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．12121212,3()()45xAxxxxAfxfx定义法求解单调性的步骤、求定义域：、取值:且，、作差：、因式分解定号：注意：分类讨论、结论3.判断函数单调性的方法•(1)定义法:利用定义严格判断.•(2)利用函数的运算性质:如若f(x),g(x)为增函数,则•①f(x)+g(x)为增函数;•②为减函数(f(x)0);•③为增函数(f(x)≥0);•④f(x)·g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0);•⑤-f(x)为减函数.f(x)1f(x)主要适用于抽象函数或已知函数.复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增（3）复合函数的单调性同增异减2．函数的最值（数形结合）前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈D，都有___________；(2)存在x0∈D，使得___________.(3)对于任意x∈D，都有___________；(4)存在x0∈D，使得___________.结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1x2，那么【助学·微博】①fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．(1)定义图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．(2)判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：①考查定义域是否关于原点对称．1．奇、偶函数②考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝_______，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝_____，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．－f(x)f(x)相反(3)性质奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_____，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____．相同(4)性质任何一个定义域关于原点对称的函数均可以表示为一个奇函数+一个偶函数2()()()()()()22()()()()22()()()()()=2()()()=2fxfxfxfxfxfxfxfxfxfxgxhxfxfxgxfxfxhx其中为偶函数为奇函数（5）性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．常数*奇=奇，常数*偶=偶。奇＋偶＝非奇非偶2,()21,nnkfxxnk偶数，偶函数奇数，奇函数(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中______________的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．2．周期性f(x＋T)＝f(x)存在一个最小A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(－2)解析因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a1，f(1)f(2)f(3)．又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)f(－2)f(3)．答案B1．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则()．A．恒为正值B．恒等于零C．恒为负值D．无法确定正负解析f(x)为奇函数且x≥0时f(x)为减函数，故f(x)在R上是减函数，由x1＋x20，得x1－x2，故f(x1)f(－x2)，即f(x1)－f(－x2)0，即f(x1)＋f(x2)0.答案C2．(2013·西安调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值()．A．(－1,0)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]解析f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，要使f(x)在[1,2]上为减函数，必须有a≤1，又g(x)＝(a＋1)1－x在[1,2]上是减函数，所以a＋11，即a0，故0a≤1.答案D4．(2013·九江模拟)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．考向一函数单调性的判断及应用【例1】►试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递增．证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．解设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1（x1－1）（x2－1）(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．【训练1】已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)证明任设x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2.∵(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．∵a0，x2－x10.∴要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，∴a≤1.综上所知0a≤1，即a的取值范围为(0,1]．(2)解任设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.考向二求函数的单调区间【例2】►求函数y＝x2＋x－6的单调区间．试求的单调区间254yxx试求的单调区间12221211222212112222112222221122112222112211-512-13()()54544()()54545454=154545454=1545454=xxxfxfxxxxxfxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、求定义域：、取值:5、作差：、因式分解定号：（）（）（）（2222122212122221122112221212211225444=54545454+-=5454xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（））（）（）（+4）（）（）254yxx求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；(3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．解令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．【训练2】(2013·咸阳调研)求函数y＝log12(x2－3x＋2)的单调区间．解令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋20，则x1或x2.∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log12(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[审题视点]抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．(1)证明法一∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．考向三抽象函数的单调性及最值【例3】►已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.在R上任取x1x2，则x1－x20.f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或fx1fx2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·x1x2或x1＝x2＋x1－x2等．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．【训练3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由fx1x2＝f(x1)－f(x2)，得f93＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝