2.1 矩阵的概念

2.3矩阵的分块第2章矩阵2.1矩阵的概念2.2矩阵的运算2.4矩阵的初等变换2.5矩阵的秩矩阵的概念2/20“矩阵”一词是由英格兰的西尔维斯特于1848年首先使用的,它来源于拉丁语,代表一排数.JamesJosephSylvester矩阵的概念3/20英国数学家凯莱被公认为是矩阵论的创立者.1858年,《矩阵论的研究报告》系统地阐述了关于矩阵的理论:矩阵的相等、运算法则、转置以及逆等,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性,方阵的特征方程和特征根(特征值)及有关矩阵的一些基本结果.ArthurCayley矩阵的概念4/20矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论(M-P)等矩阵的现代理论.矩阵及其理论已广泛地应用于现代科技的各个领域.三、小结二、矩阵的定义一、矩阵概念的引入2.1矩阵的概念矩阵的概念6/20矩阵的概念来源于线性方程组,并且与现实生活密切相关.对于mn线性方程组11112211211222221122,,,nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb一、矩阵概念的引入矩阵的概念7/20它的数据按相对位置可以排成m行n1列的矩形数表11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab一、矩阵概念的引入11112211211222221122,,,nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb矩阵的概念8/20例2.1在三家超市M1,M2,M3中,四种食品F1,F2,F3,F4第一周的销售量(单位:kg)如下表所示：F1F2F3F4M11501901100M213015012040M312020014060矩阵的概念9/20三家超市中四种食品一周的销售量可简化成一个3行4列的矩形数表15018011001301501204012020014060其中第i行第j列数字表示在超市Mi中食品Fj一周的销售量,i1,2,3;j1,2,3,4.F1F2F3F4M11501901100M213015012040M312020014060矩阵的概念10/20例2.2某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示四城市间的航线图:如果从A到B有直达航班,则用带箭头的线连接A到B.ABCDABCDABCD发站到站0110101010010100矩阵的概念11/20ABCDABCD则航线图可表示为矩形数表0110101010010100.0110101010010100矩阵的概念12/20111212122212nnmmmnaaaaaaaaa轾犏犏犏犏犏犏臌111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为mn矩阵,定义2.1由mn个数aij(i1,2,,m;j1,2,,n)排成的m行n列的矩形数表二、矩阵的定义简记为A[aij]mn,或A[aij],或Amn.一阶矩阵[a]也可以记为a.矩阵的概念13/20元是实数的矩阵称为实矩阵,元是复数的矩阵称为复矩阵,用mn表示mn或mn.aij称为A的(i,j)元,简称为A的元.mn实矩阵的全体记作mn;mn复矩阵的全体记作mn,矩阵的概念14/20两个矩阵的行数相等、列数也相等时,称为同型矩阵.例如,为同型矩阵.121435684373i9与如果两个矩阵A[aij]与B[bij]为同型矩阵,并且对应元相等,aijbij(i1,2,,m;j1,2,,n),则称矩阵A与B相等,记作AB.即矩阵的概念15/20(1)1n矩阵(a1,a2,,an)称为行矩阵或行向量.m1矩阵称为列矩阵或列向量.12mbbb(2)元全为零的矩阵称为零矩阵,记作0.不同型的零矩阵是不同的.(3)一个元为1、其余元全为零的矩阵称为基本矩阵.(i,j)元为1的基本矩阵记作Eij.矩阵的概念16/20(4)行数与列数都为n的矩阵称为n阶矩阵或方阵.例如,是一个3阶复矩阵.1362i222222左上角与右下角间的连线称为它的主对角线,主对角线上的元称为对角元.而右上角与左下角间的连线称为它的副对角线.副对角线上的元称为副对角元.矩阵的概念17/20000000kkk.1122000000nnaaa(5)方阵称为对角矩阵,记作1122diag(,,,)nnaaa.diagonal对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵,即矩阵的概念18/20100010001E.11121222;nnnnaaaaaa对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵,记为(6)主对角线左下方的元都为0的方阵称为上三角矩阵.矩阵的概念19/20主对角线右上方的元都为0的方阵称为下三角矩阵.11212212nnnnbbbbbb.上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.矩阵的概念20/20(1)矩阵的概念(2)特殊矩阵方阵(mn);行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩阵;三、小结三角矩阵.数量矩阵;m行n列的一个矩形数表