2.1-变化的快慢与变化率

第三章变化率与导数§1变化的快慢与变化率银杏树高:15米树龄:1000年雨后春笋高:15厘米时间:两天世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？﹤探究点1平均变化率定义问题（1）物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数,表示为s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如表：t(s)025101315…s(m)069203244…物体在0～2s和10～13s这两段时间内，哪一段时间运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？603(m/s)20；32204(m/s).1310分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢.在0～2s这段时间内，物体的平均速度为在10～13s这段时间内，物体的平均速度为显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快.问题（2）某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示：比较时间x从0min到20min和从20min到30min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？y/(oC)x/min01020304050607036373839分析：根据图像可以看出：当时间x从0min到20min时，体温y从39ºC变为38.5ºC，下降了0.5ºC；当时间x从20min到30min时，体温y从38.5ºC变为38ºC，下降了0.5ºC.两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快.我们也可以比较这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间x从0min变到20min时，体温y相对于时间x的平均变化率为当时间x从20min变到30min时，体温y相对于时间x的平均变化率为这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降得越快，这里，体温从20min到30min这段时间下降得比0min到20min这段时间要快.38.5390.50.025();min20020℃3838.50.50.05().min302010℃分析上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢，当时间从t0变为t1时，物体所走的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体的平均速度是s-s=-1010tt.tt（）（）平均速度第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从x0变为x1体温从y(x0)变为y(x1)，体温的平均变化率你能类比归纳出“函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率”的一般性定义吗？1010xx.xx（）（）y-y=-抽象概括：1.平均变化率的定义:对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从变为时，函数值从f（）变为，它的平均变化率为1x2x1x2121()().fxfxxx2x2()fx通常把自变量-称作自变量的改变量，记作，函数值的变化称作函数值的改变量，记作，则有如下表示：1xx)()(12xfxfyxyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))Of(x2)-f(x1)=△yx2-x1=△x2121()()fxfxyxxx2.平均变化率的几何意义：几何意义是曲线上经过Ａ，Ｂ两点的直线的斜率.)(xfy斜率的概念思考1.表达式中f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序可以交换吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？提示:f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序不可交换，但它们本身的式子可以同时交换，如也可以写为思考2.函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率如何计算？提示:设x在x0附近的变化量为Δx，则平均变化率1212f(x)f(x)Δy.Δxxx00f(xΔx)f(x)Δy.ΔxΔx提示：对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中，若设△x=x1-x0△y=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是xxfxxfxxxfxfxy)()()()(000101思考：如何精确地刻画物体在某一瞬间的变化率呢？探究点2瞬时速度、瞬时变化率则当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率.（1）瞬时变化率的表示对于函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中①自变量的改变量:Δx=_____;②函数值的改变量:Δy=___________;③平均变化率:=___________________;④在x0点的瞬时变化率：当Δx趋于__时，平均变化率趋于某一常数，此常数即为瞬时变化率.(2)瞬时变化率的意义瞬时变化率刻画的是函数在_____处变化的快慢.x1-x0f(x1)-f(x0)1010fxfxyxxx00fxxfxx0一点21sgt2，2(g9.8m/s)例1：一个小球从高空自由下落，其走过的路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系为其中，g为重力加速度试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.，1010s(t)s(t)sttt，9.5315.1224.17656)5()6(ss5.491.05.12245.12751.5)5()1.5(ss分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式可以求出从5s到6s这段时间内小球的平均速度我们有时用它来近似表示t=5s时的瞬时速度.为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s这段时间内的平均速度（m/s）.（m/s）用它来近似表示t=5s时的瞬时速度.解：我们将时间间隔每次缩短为前面的，计算出相101应的平均速度得到下表：平均速度tst0/st1/s时间的改变量（Δt）/s路程的改变量（Δs）/m/（m/s）55.10.14.9549.555.010.010.4949.04955.0010.0010.04949.004955.00010.00010.004949.000495…………可以看出，当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s，因此，可以认为小球在t0=5s时的瞬时速度为49m/s.从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s的物理意义是，如果小球保持这一时刻的速度进行运动的话，每秒将要运动49m．【变式练习】一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动，求这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度(单位：m/s)．解析：因为Δs＝3(3＋Δt)2＋1－(3×32＋1)＝3Δt2＋18Δt，所以因为当Δt趋于0时，趋于18，所以这辆汽车在t＝3s时的瞬时速度的大小为18m/s.2s3t18t3t18.ttst例2：如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m.x（单位：m）表示OX这段棒的长，y（单位：kg）表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：估计该合金棒在x=2m处的线密度.分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度.yf(x)2x.解：由xxfy2)(，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表：x0/mx1/m长度x的改变量（Δx）/m质量y的改变量（Δy）/kg/（kg/m）22.10.10.0700.7022.010.010.00710.7122.0010.0010.000710.7122.00010.00010.0000710.712…………平均线密度xy可以看出，当x1趋于x0=2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为合金棒在x0=2m处的线密度为0.71kg/m.从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m的物理意义是，如果有1m长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg.某物体做匀速运动，其运动方程是s＝vt＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度分别是多少？【变式练习】提示：0000()()()sttstvttvtsvttt，所以当Δt趋于0时，趋于常数v，即物体在任意时刻的瞬时速度都是v.ts定义法D32St3t2.如果质点A按规律运动，则在秒的瞬时速度为（）A．6B．18C．54D．81C1.已知函数f(x)=-x2+x的图像上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δxyx3.t2质点运动规律为s=t+3,则在时间[3,3+t]内相应的平均速度为()9A.6+tB.6+t+C.3+tD.9+tA321st2tt22s3tt1，t24.甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是和，则在秒时两个物体运动的瞬时速度关系是（）A.甲大B.乙大C.相等D.无法比较B5.自由落体运动的运动方程为s=gt2，计算t从3s到3.1s这段时间内的平均速度（位移的单位为m）.解析：设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则△t1=3.1-3=0.1(s).△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m).111s0.305gv3.05gm/s.t0.1（）所以122121()()yfxfxxxx1.平均变化率的定义:2.平均变化率的几何意义是曲线上经过Ａ，Ｂ两点的直线的斜率.)(xfy3.瞬时变化率的定义及求瞬时变化率的一般步骤：先求函数值的改变量求平均变化率求瞬时变化率如果在胜利前却步，往往只会拥抱失败；如果在困难时坚持，常常会获得新的成功。1.理解函数平均变化率及瞬时变化率的概念.2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点的瞬时变化率.（重点）3.理解平均变化率及瞬时变化率的意义，能够解释生活中的现象.（难点）