2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件：第4章第四节 复数(苏教版江苏专用

第四节复数第四节复数考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．复数的定义设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做_________，满足_________，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．全体复数所构成的集合叫做复数集，记作___.2．复数的分类复数a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是_______；是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0；是虚数的充要条件是_________虚数单位i2＝－1Cb≠0.b＝03．复数相等两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＝z2⇔_______________.4．复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示_________a＝c且b＝d纯虚数．(2)复数z＝a＋bi(a、b∈R)――→一一对应有序数对(a，b)――→一一对应点Z(a，b)．(3)设OZ→＝a＋bi(a、b∈R)，则向量OZ→的长度叫做复数a＋bi(a、b∈R)的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝________a2＋b2.5．共轭复数如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，即复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝_________.6．复数的运算(1)复数的加、减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.即：两个复数相加(减)就是_____________，______________分别相加(减)．a－bi实部与实部虚部与虚部(2)复数的乘法①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.②复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；z1·(z2＋z3)＝______________z1z2＋z1z3.③两个共轭复数z与z的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z·z＝_______＝_______.(3)复数的除法设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝________________________|z|2|z|2ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.课前热身1．(2010年高考湖南卷改编)复数21－i等于________．答案：1＋i2．复数z＝在复平面上对应的点位于第________象限．1ii答案：一3．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________．答案：(1，5)4．(2011年无锡质检)若将复数2＋i1－2i表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则a＋b＝________.解析：复数2＋i1－2i＝2＋i1＋2i1－2i1＋2i＝2＋i＋4i－25＝i，则a＋b＝1.答案：1考点探究·挑战高考考点突破复数的有关概念1．复数的分类(a＋bi)(a、b∈R)实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0.2．若a＋bi0(a，b∈R)，则a0b＝0.例13．处理有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部(若复数为非标准的代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题．实数x分别取什么值时，复数z＝x2－x－6x＋3＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【思路分析】确定实部和虚部―→列方程或不等式——求解【解】(1)当x满足x2－2x－15＝0x＋3≠0，即x＝5时，z是实数．(2)当x满足x2－2x－15≠0x＋3≠0，即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足x2－x－6x＋3＝0x2－2x－15≠0，即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．【名师点评】(1)当复数不是a＋bi(a、b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定实部和虚部．(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．互动探究1本例中若z＝m2(1＋i)－m(3＋i)－6i，m∈R，如何求解？解：∵z＝(m2－3m)＋(m2－m－6)i，∴(1)当x满足m2－m－6＝0，即m＝－2或m＝3时，z为实数．(2)当x满足m2－m－6≠0，即m≠－2且m≠3时，z为虚数．(3)当x满足m2－3m＝0m2－m－6≠0，即m＝0时，z为纯虚数．利用复数相等解决有关问题两个复数相等的充要条件是两个复数的实部、虚部分别对应相等，解决相关问题时，常利用复数相等的条件，构造方程组来解决．(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值；(2)关于x的方程3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．例2【思路分析】先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方程组求解．【解】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴x2－y2＝02xy＝2，解得x＝1y＝1或x＝－1y＝－1.(2)设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，∴3m2－a2m－1＝010－m－2m2＝0，解得a＝11或a＝－715.【名师点评】利用复数相等，可实现复数问题的实数化，其步骤是：按照题设条件把复数整理成其代数形式，由复数相等的充要条件列出方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．一般可以解决如下问题：(1)解复数方程；(2)复系数方程的有实解问题；(3)求轨迹问题．复数的代数运算复数代数形式的运算是复数部分的重点，其基本思路就是应用运算法则进行计算．复数的加减运算类似于实数中的多项式加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)(a－b)＝a2－b2，防止实数中的相关公式与复数运算混淆，造成计算失误．计算：(1)(1＋i1－i)6＋2＋3i3－2i；(2)(12＋32i)4.例3【思路分析】利用复数的乘法、除法等运算法则运算．【解】(1)原式＝i6＋2＋3ii3－2ii＝i2＋2＋3ii2＋3i＝－1＋i.(2)原式＝[(12＋32i)2]2＝(－12＋32i)2＝－12－32i.【名师点评】复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧．变式训练2计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2；(4)1－3i3＋i2；(5)(1＋i2)2012＋(1－i2)2012.解：(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i2－i5＝15＋25i.(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i＋1＋i－2i＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.(4)1－3i3＋i2＝3＋i－i3＋i2＝－i3＋i＝－i3－i4＝－14－34i.(5)(1＋i2)2012＋(1－i2)2012＝122012[(2i)1006＋(－2i)1006]＝i1006＋(－i)1006＝i2＋(－i)2＝－2.方法感悟方法技巧1．数学中很多概念本身就是解题手段和方法．认真理解复数的基本概念并运用它去解题是本章的重点和难点．2．复习本章内容，要抓住复数的分类，掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件；两个复数互为共轭复数的充要条件；两个复数相等的充要条件，明确复数问题实数化是解决复数问题的最基本的思想方法．3．复数的代数形式运算类似于多项式的运算，加法类似于合并同类项，乘法类似于多项式乘多项式，除法类似于分母有理化(实数化)，但复数运算有它独特的技巧，如i的运算规律(1±i)2＝±2i，i的立方等．4．技巧固然重要，但基本方法更重要，要在掌握基本方法的基础上细心研究各种技巧．5．对于代数形式的乘方要能够利用二项式定理展开，对于代数形式的开方运算关键在于熟练求出一个复数的平方根．6．在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z∈C时不总是成立的：(1)(zm)n＝zmn(m，n为分数)；(2)zm＝zn⇒m＝n(z≠1)；(3)z21＋z22＝0⇔z1＝z2＝0.7．解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解(整体思想贯穿整个复数内容)．如果遇到复数就设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍．1．i2＝－1，在运算中，易写成“1”．2．复数的代数运算，除法运算中分子、分母同乘以分母的共轭复数，分母应为复数的模的平方，易写成复数的模．失误防范考向瞭望·把脉高考考情分析复数是高考必考的内容之一，从近几年的江苏高考试题统计分析来看，对复数的考查固定在一个填空题，难度不大，以考查复数的概念和代数运算为主．从具体的题目分析看，主要为复数的乘除运算．预测在2012年的江苏高考仍会有一道填空题，考查复数的代数运算．真题透析例2010年高考江苏卷)设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________．【解析】由已知条件可得z＝6＋4i2－3i＝6＋4i2＋3i2－3i2＋3i＝26i13＝2i，∴|z|＝2.【答案】2【名师点评】本题主要考查了复数的除法运算及复数的模，考生平时要注意对复数运算法则等基础知识的掌握．名师预测解析：z2－2zz－1＝1＋i2－21＋i1＋i－1＝2i－2－2ii＝2i.1．已知复数z＝1＋i，则z2－2zz－1等于________．答案：2i2．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．解析：整理得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，对应点在第二象限，则m2－4m0，m2－m－60，解得3m4答案：3m43．设i是虚数单位，复数z＝tan45°－i·sin60°，则z2等于________．解析：z＝1－32i，z2＝14－3i.答案：14－3i4．已知实数m，n满足m1＋i＝1－ni(其中i是虚数单位)，则双曲线mx2－ny2＝1的离心率为________．解析：m＝(1＋i)(1－ni)＝(1＋n)＋(1－n)i，则m＝1＋n，1－n＝0，∴n＝1，m＝2，从而e＝3.答案：3本部分内容讲解结束点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用