2012届高考数学(文)《优化方案》一轮复习课件：第8章第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系(苏教版江

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理1．直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)的位置关系(1)几何方法：圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2，_____⇔直线与圆相交；_____⇔直线与圆相切；_____⇔直线与圆相离．drd＝rdr(2)代数方法：由Ax＋By＋C＝0，x－a2＋y－b2＝r2，消元，得到一元二次方程判别式为Δ，则_____⇔直线与圆相交；_____⇔直线与圆相切；_____⇔直线与圆相离．Δ0Δ＝0Δ0思考感悟若过一点P作圆的切线，用点斜式方程写出切线方程，并与圆的方程联立，用Δ＝0来求切线的斜率，若斜率有两解，则切线有两条；若斜率有一解，则切线只有一条，这种求切线方程的方法对吗？提示：不对．在以上的方法中，还应注意点P的位置，点P在圆上时，切线只有一条，点P在圆外时，切线一定有两条，若用以上方法求斜率值时，只有一解，说明另一条切线的斜率不存在，即切线还是应该有两条，只不过一条切线的斜率存在，一条切线的斜率不存在．_________⇔两圆外离；___________⇔两圆相外切；________________⇔两圆相交；__________⇔两圆内切；____________⇔两圆内含(d＝0时为同心圆)．2．圆与圆的位置关系(1)几何方法：两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r10)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r20)的圆心距为d，则：dr1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|dr1＋r2d＝|r1－r2|0≤d|r1－r2|有两组不同的实数解⇔两圆______；有两组相同的实数解⇔两圆______；有无数组解⇔两圆重合；无实数解⇔两圆____________．(2)代数方法：方程组x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交相切外离或内含1．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是(1,2)，则直线PQ的方程是________．答案：x＋2y－5＝02．(2011年扬州质检)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的________条件．答案：充分而不必要课前热身3．直角坐标平面内过点P(2,1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线有________条．答案：24．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是________．答案：相交考点探究·挑战高考考点突破直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、相切(只有一个公共点)、相交(有两个公共点)三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．【思路分析】直线与圆有两个公共点⇔直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点⇔直线与圆相切；直线与圆没有公共点⇔直线与圆相离．例1【解】法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴当Δ＞0时，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ＜0时，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2.圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝||2m－1－m－11＋m2＝||m－21＋m2.当d＜2时，即m＞0或m＜－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d＞2时，即－43＜m＜0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．【名师点评】解决此类问题的关键是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．互动探究1本例中直线改为mx－y－2m＋1＝0，则该直线与圆有几个交点？解：直线mx－y－2m＋1＝0为m(x－2)－(y－1)＝0，∴直线过点(2,1)，即过圆的圆心．∴该直线与圆有两个交点．1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．圆与圆的位置关系已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线方程；(3)求公共弦的长度．例2【思路分析】将两圆方程化为标准方程→判断两圆位置关系→作差求公共弦所在的直线→求公共弦的长度【解】(1)将两圆方程配方化为标准方程，C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又C1C2＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10.∴r1－r2＜C1C2＜r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.(3)法一：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0①x2＋y2＋2x＋2y－8＝0②两式相减得x＝2y－4③，把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴x1＝－4y1＝0或x2＝0y2＝2，所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝25.法二：两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝52.圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝||1－2×－5＋41＋－22＝35，设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2，得50＝45＋l2，解得l＝5，所以公共弦长2l＝25.【名师点评】求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下方法：此类问题包含知识较多，多与方程、向量、不等式相结合，解决问题时，首先由直线与圆的知识入手，然后转化为方程等知识解决．直线与圆的综合问题(2011年盐城高三调研)已知⊙O：x2＋y2＝1和点M(4,2)．(1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；(2)求以点M为圆心，且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的⊙M的方程；(3)设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q.试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．例3【思路分析】(1)由切线意义可求斜率；(2)利用点到直线的距离公式；(3)先假设存在设出定值，找出关系式计算．【解】(1)设切线l方程为y－2＝k(x－4)，易得||2－4kk2＋1＝1，解得k＝8±1915.∴切线l方程为y－2＝8±1915(x－4)．(2)圆心到直线y＝2x－1的距离为5.设圆的半径为r，则r2＝22＋(5)2＝9.∴⊙M的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9.(3)假设存在这样的点R(a，b)，点P的坐标为(x，y)，相应的定值为λ，根据题意可得PQ＝x2＋y2－1，∴x2＋y2－1x－a2＋y－b2＝λ，即x2＋y2－1＝λ2(x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2)，(*)又点P在圆上，∴(x－4)2＋(y－2)2＝9，即x2＋y2＝8x＋4y－11，代入(*)式得：8x＋4y－12＝λ2[(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a2＋b2－11)]．若系数对应相等，则等式恒成立，∴λ28－2a＝8，λ24－2b＝4，λ2a2＋b2－11＝－12，解得a＝2，b＝1，λ＝2或a＝25，b＝15，λ＝103，∴可以找到这样的定点R，使得PQPR为定值．如点R的坐标为(2,1)时，比值为2；点R的坐标为(25，15)时，比值为103.【名师点评】圆的综合问题主要是直线、弦、中点、弦心距以及圆的几何性质、有关方程等问题，尽量结合图形的特征分析，转化为有关的代数式计算．变式训练2(2011年徐州质检)已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；(2)若a＝2，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值．解：(1)由条件知点M在圆O上，所以1＋a2＝4.则a＝±3.当a＝3时，点M为(1，3)，kOM＝3，k切线＝－33，此时切线方程为y－3＝－33(x－1)，即x＋3y－4＝0.当a＝－3时，点M为(1，－3)，kOM＝－3，k切线＝33，此时切线方程为y＋3＝33(x－1)，即x－3y－4＝0.所以所求的切线方程为x＋3y－4＝0或x－3y－4＝0.(2)法一：设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，则d21＋d22＝OM2＝3.于是AC＝24－d21，BD＝24－d22.所以AC＋BD＝24－d21＋24－d22.则(AC＋BD)2＝4(4－d21＋4－d22＋24－d214－d22)＝4(5＋216－4d21＋d22＋d21d22)＝4(5＋24＋d21d22)．因为2d1d2≤d21＋d22＝3，所以d21d22≤94，当且仅当d1＝d2＝32时取等号，所以4＋d21d22≤52.所以(AC＋BD)2≤4×(5＋2×52)＝40，所以AC＋BD≤210，即AC＋BD的最大值为210.法二：当AC的斜率为0或不存在时，可求得AC＋BD＝2(2＋3)．当AC斜率存在且不为0时，设直线AC的方程为y－2＝k(x－1)，直线BD的方程为y－2＝－1k(x－1)．根据弦长公式l＝2r2－d2，可得AC＝23k2＋22k＋2k2＋1，BD＝22k2－22k＋3k2＋1.因为AC2＋BD2＝4(3k2＋22k＋2k2＋1＋2k2－22k＋3k2＋1)＝20，所以(AC＋BD)2＝AC2＋BD2＋2AC×BD≤2(AC2＋BD2)＝40.故AC＋BD≤210，即AC＋BD的最大值为210.方法技巧1．在直线与圆的位置关系中，直线与圆相切时，求切线和相交时研究与弦长有关的问题是两个重点内容；求切线时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条．方法感悟2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式，就是通常所说的“几何法”和“代数法”．3．解决直线与圆或圆与圆的位置关系问题，一般有两种方法，即几何法或代数法，从运算的合理、简明的要求选择，通常采用几何法，但代数法具有一般性．4．数形结合法是解决直线与圆的位置关系的重要方法．失误防范1．直线与圆的位置关系的判断易片面化，即只研究方程或只研究图形，这样易产生失误，要数形结合，从数与形两方面加以判断2．应用弦心距、半径、弦长一半构成的三角形时，易把弦长看作三角形的一条边长用于计算．考向瞭望·把脉高考考情分析从近几年的江苏高考试题来看，直线与圆的位置关系、弦长、圆与圆的位置关系等是高考的热点，三种题型都有可能出现，难度属中等偏高；客观题主要考查直线与圆的位置关系，弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、弦