2012届高考数学一轮复习 22正弦定理和余弦定理课件 (文) 新人教A版

共79页1第二十二讲正弦定理和余弦定理共79页2回归课本共79页31.正弦定理(1)内容:=2R(其中R为△ABC外接圆的半径).(2)正弦定理的几种常见变形①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②(其中R是△ABC外接圆半径)abcsinAsinBsinC,,;222abcsinAsinBsinCRRR共79页4③asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA;④a:b:c=sinA:sinB:sinC.共79页52.余弦定理(1)余弦定理的内容c2=b2+a2-2bacosC,b2=a2+c2-2accosB,a2=b2+c2-2bccosA.共79页6(2)余弦定理的变形222222222;2;2.2bcabcaccosAcosBcosbacabbCca共79页7(3)勾股定理是余弦定理的特殊情况在余弦定理表达式中分别令A､B､C为90°,则上述关系式分别化为:a2=b2+c2,b2=a2+c2,c2=a2+b2.共79页83.解斜三角形的类型在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:共79页9共79页104.测距离的应用共79页11共79页125.测高的应用共79页136.仰角､俯角､方位角､视角(1)在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角,如下左图所示.共79页14(2)如上右图所示,P点的方向角为南偏东60°.(3)由物体两端射出的两条光线,在眼球内交叉而成的角叫做视角.共79页157.△ABC的面积公式有22aa1(1)211(2)2h(ha);(r);;2241(3)()21([pabc].4)()()()2SasinBsinCabcSabsinCRsinAsinBsinCasinARSrabcSppapbpc表示边上的高为内切圆半径其中共79页16考点陪练共79页171.ABC,a,B60,A()A.135B.90C.45D.2,033b已知中那么角等于232,,.232:sin23,AaAB,A45.absinAsinBsinAb解析由正弦定理得可得又所以所以答案:C共79页182.ABCabc,a1,c4,B45,ABC2.43.5.2.()62ABCD的边分别为､､且则的面积为ABC1122:S14si522n4.acsinB解析答案:C共79页192223.ABC,ABCabc,acbtanBB3,..6352..6()633acABCD在中角､､的对边分别为、、若则角的值为或或共79页202222223,313.22:ac232,,btanBBsinB(0,).22B33acacbcosBcosBactanBsinB解析由联想到余弦定理并代入得显然在内或答案:D共79页214.在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,若B=45°,则角A等于()A.30°B.30°或105°C.60°D.60°或120°3,2,ab共79页22:sinAA),A,3.22(,.43.3ADabsinAsinBasinBb解析由正弦定理得又或故选答案:D共79页235.(2010·湖南)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=120°,a,则()A.abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析:c2=a2+b2-2abcos120°⇒a2-b2-ab=0⇒b=a,故选A.答案:A2c52aa共79页24类型一正弦定理和余弦定理的应用解题准备:1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起来运用.2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.共79页253.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式的运用:A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=-,,.2222ABCABCtanCsincoscossin共79页26【典例1】在△ABC中,若∠B=30°,AC=2,求△ABC的面积.[解]解法一:根据正弦定理有∴sinC=由ABAC知∠C∠B,则∠C有两解.23,AB,ABACsinCsinB12332.22ABsinBAC共79页27(1)当C为锐角时,∠C=60°,∠A=90°,由三角形面积公式得:S=AB·AC·sinA=×2×sin90°=.(2)当C为钝角时,∠C=120°,∠A=30°,由三角形面积公式得:S=AB·AC·sinA=∴△ABC的面积为或1212322312112323,22233.共79页28解法二:由余弦定理得:|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|cosB,即:4=12+|BC|2-2××|BC|×∴|BC|2-6|BC|+8=0,∴|BC|=2或|BC|=4.(1)当|BC|=2时,S△=|AB|·|BC|·sinB(2)当|BC|=4时,S△=|AB|·|BC|·sinB∴△ABC的面积为或233,212112323.22121123423.22233.共79页29[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推理能力.共79页30类型二判断三角形的形状解题准备:1.这类题型主要是利用正､余弦定理及其变形,把题设条件中的边､角关系转化为角或边的简单关系,从而进行判断.共79页312.判断三角形的形状的思路大致有两种:一是化边为角,以角为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为内角三角函数之间的关系,走三角变形之路;二是化角为边,以边为着眼点,利用正､余弦定理及变形,把已知条件转化为边的关系,走代数变形之路.在运用这些方法对等式变形时,一般两边不约去公因式,应移项提公因式,以免产生漏解.共79页32【典例2】在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B),试判断该三角形的形状.[分析]利用正、余弦定理进行边角互化,转化为边边关系或角角关系.共79页33[解]解法一:由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)•sin(A+B).得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)]∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2A•sinAsinB=sin2B•sinAsinB.共79页34∵0Aπ,0Bπ,∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=∴△ABC是等腰三角形或直角三角形..2共79页35解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,由正、余弦定理得a2b•=b2a•∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),即(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∴a=b或c2=a2+b2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.2222bcabc2222acbac共79页36[反思感悟]判断三角形形状主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.共79页37类型三测量高度和角度问题解题准备:1.在测量高度的问题中,要正确理解仰角､俯角和坡角､坡度等特定的相关概念,画出准确的示意图.2.(1)仰角､俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.(2)坡角､坡度:坡面与水平面的夹角叫做坡角;坡面的竖直高度与水平宽度的比值叫做坡度.共79页383.测量角度问题,首先要明确方位角､方向角的含义:指北或指南方向线与目标方向线所成的0°~90°的角叫做方向角:从指正北方向线顺时针转到目标方向线所成的角度叫做方位角.4.方向角是解三角形实际问题中经常出现的.目标方向角一般可用“x偏x多少度”来表示,这里第一个“x”是“北”或“南”,第二个“x”是“东”或“西”.如北偏东25°等.共79页395.在解此类应用题时,分析题目条件,理清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键､最重要的一步.通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正､余弦定理“联袂”使用的优点.共79页40【典例3】在湖面上高hm处,测得天空中一朵云的仰角为α,测得云在湖中之影的俯角为β.试证云距湖面的高度为().()sinhmsin共79页41[证明]如图,设湖面上高hm处为A,测得云C的仰角为α,测得C在湖中之影D的俯角为β,CD与湖面交于M,过A的水平线交CD于E.共79页42CMxm,CExh,DExh,AE.,()()AExm.xhtanxhxhxhtantantantantansinhhtantansin设云高则又解得共79页43[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.共79页44解斜三角形应用题的一般步骤是:①准确理解题意,分清已知与所求;②依题意画出示意图;③分析与问题有关的三角形;④运用正､余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问题的答案;⑤注意方程思想的运用;⑥要把立体几何知识与平面几何知识综合运用.共79页45[探究]如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度,从B处向北偏东30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.(31)103共79页46[解]设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获(在D点)走私船,则CD=t海里,BD=10t海里,在△ABC中,由余弦定理,有BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA,()2+22-2()·2·cos120°=6,∴BC=海里.又∵∴sin∠ABC=∴∠ABC=45°,∴B点在C点的正东方向上,∴∠CBD=90°+30°=120°.10331316,BCACsinAsinABC21202,26ACsinAsinBC共79页47在△BCD中,由正弦定理,得∴sin∠BCD=∴∠BCD=30°,∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,∴∠D=30°,∴BD=BC,即∴t=小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.,BDCDsinBCDsinCBD101201,2103BDsinCBDtsinCDt106.t610共79页48[评析]应用解三角形的知识解决实际问题的基本步骤是:(1)根据题意,抽象或者构造出三角形;(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边和角的对应关系;(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解;(4)给出结论.共79页49错源一因忽视边角关系而致错【典例1】在△ABC中,已知A=60°,,b=2,则角B=_