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第5课时三角函数的图象考纲下载理解正弦函数，余弦函数、正切函数的图象；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，理解A、ω、φ的物理意义．本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图象，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图象确定解析式；③考查三角函数图象变换；④图象的轴对称、中心对称．题型多是容易题.请注意!1．三角函数图象•①y＝sinx，x∈[0,2π]的图象是•②y＝cosx，x∈[0,2π]的图象是课前自助餐课本导读y＝tanx，x∈(－π2，π2)的图象是2．y＝Asin(ωx＋φ)的图象(A0，ω≠0)(1)五点作图法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，五点坐标为(－φω，0)，π－2φ2ω，A，2π－2φ2ω，0，3π－2φ2ω，－A，4π－2φ2ω，0一、y＝sinx――→相位变换y＝sin（x＋φ）――→周期变换y＝sin（ωx＋φ）――→振幅变换y＝Asin（ωx＋φ）二、y＝sinx――→周期变换y＝sinωx――→相位变换y＝sin（ωx＋φ）――→振幅变换y＝Asin（ωx＋φ）【说明】前一种方法第一步相位变换是向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个单位，而后一种方法第二步相位变换是向左(φ0)或向右(φ0)移|φ|ω个单位，要严格区分，对y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)同样适用．1．(1)把y＝sinx的图象向右平移π3个单位，得________的图象．(2)把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得________的图象．(3)把y＝sin(x－π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得________的图象．(4)把y＝sin2x的图象向右平移π6得________的图象．y＝sin(x－π3)y＝sin(2x－π3)y＝sin2xy＝sin(2x－π3)2．若x∈[－π，π]，则y＝sinx和y＝tanx的图象的交点个数是()A．2B．3C．4D．5答案B解析在[－π，π]上画y＝sinx和y＝tanx的图象．如图可知，x∈[－π，π]时y＝sinx和y＝tanx的图象的交点个数是3.3．函数y＝2sin(x＋φ)是奇函数，则φ＝________.4．(09·辽宁卷)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝()A．－23B．－12C.23D.12答案kπ，(k∈Z)答案C解析由图象可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将(11π12，0)代入解析式得114π＋φ＝π2＋2kπ，所以φ＝－9π4＋2kπ，令φ＝－π4代入解析式得f(x)＝Acos(3x－π4)，又因为f(π2)＝－Acosπ4＝－23，所以f(0)＝Acos(－π4)＝Acosπ4＝23，故选C.5．(2010·福建卷)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移π2个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于()A．4B．6C．8D．12解析由题意得：sin[ω(x＋φω＋π2)]＝sin(ωx＋φ)，则π2ω＝2kπ，k∈Z，∴ω＝4k，k∈Z，而6不是4的整数倍，故应选B.答案B例1用“五点法”画出函数y＝3sinx2＋cosx2的图象，并指出这个函数的周期与单调区间．【解析】y＝3sinx2＋cosx2＝2sin(x2＋π6)，令T＝x2＋π6，则列表如下：题型一五点法作y=Asin﹙ωx+φ﹚授人以渔在坐标系中描出相应的五点，再用平滑的曲线连接起来，如下图所示，再向两端伸展一下．从图象观察：该函数的周期为T＝2π12＝4π.[－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ]为增区间，[2π3＋4kπ，8π3＋4kπ]为减区间(k∈Z)．•探究1用“五点法”作正、余弦型函数图象的步骤是：•(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式；•(2)确定周期；•(3)确定一个周期内函数图象的最高点和最低点；•(4)选出一个周期内与x轴的三个交点；•(5)列表；•(6)描点．思考题1用描点法作出y＝2sin(2x＋π3)在－π3，2π3内的图象．【解】2(－π3)＋π3＝－π32(2π3)＋π3＝5π3∴令2x＋π3＝0，∴x＝－π62x＋π3＝π2，∴x＝π122x＋π3＝π，∴x＝π32x＋π3＝3π2，∴x＝7π12列表描点作图题型二三角函数的图像变换例2试说明下列函数的图象与函数y＝sinx图象间的变换关系．(1)y＝sin(x＋π3)；(2)y＝sin(2x－2π3)－2；(3)y＝|2sinx|；(4)y＝cos(2x－π3)【解析】(1)将y＝sinx图象向左平移π3个单位．(2)将y＝sinx图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得y＝sin2x图象；再将y＝sin2x图象向右平移π3个单位，得y＝sin(2x－2π3)图象；再将y＝sin(2x－2π3)向下平移2个单位．(3)将y＝sinx图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得y＝2sinx的图象；再将y＝2sinx的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方．(4)y＝cos(2x－π3)＝cos(π3－2x)＝sinπ2－π3－2x＝sin(2x＋π6)探究2关于y＝Asin(ωx＋φ)函数图象由y＝sinx的图象的变换，先将y＝sinx的图象向左(或右)平移|φ|个单位，再将其上的横坐标缩短(ω1)或伸长(0ω1)到原来的1ω倍，再将其纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍，但在(2)题中，是先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是|φ|个单位，而是|φω|个单位，原则是保证x的系数为1，同时注意变换的方法不能出错．思考题2(2010·天津卷，文)右图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间[－π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点()【解析】观察图象可知，函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＝1，2πω＝π，故ω＝2，ω×(－π6)＋φ＝0，得φ＝π3，所以函数y＝sin(2x＋π3)，故只要把y＝sinx的图象向左平移π3个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的12倍即可．【答案】A例3已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,22)，与x轴在原点右侧的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．题型三由函数图象求解析式【思路分析】根据题意，可知点M、N是函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A0，ω0)图象的五个关键点中的两个，可作出其函数的大致图象，如图所示．【解析】方法一(最值点法)：根据题意，可知A＝22，T4＝6－2＝4，所以T＝16.于是ω＝2πT＝π8，将点M(2,22)代入y＝22sin(π8x＋φ)，得22＝22sin(π8·2＋φ)，∴sin(π4＋φ)＝1.所以π4＋φ＝π2，即φ＝π4.从而所求函数的解析式是y＝22sin(π8x＋π4)，x∈R.方法二(零点法)由方法一可知T＝16，A＝22，ω＝π8，根据题意知N是第二个零点，故x3＝6.又由ωx3＋φ＝π，得φ＝π4.方法三(平移法)分别作出y＝22sinπ8x及y＝22sin(π8x＋φ)在第一个周期内的函数图象，如图，观察两图象关系可知y＝22sin(π8x＋φ)的图象是由y＝22sinπ8x的图象向左平移2个单位而得到的．∴φω＝2，即φ＝2ω＝π4.探究3解决问题的关键是确定初相φ.本题所用的三种解法具有普遍性，对多数的同类变式题均适用．其中要注意两点：①“五点法”中的五点是令相位角ωx＋φ分别为0、π2、π、32π、2π而确定的；②若用平移解答时，应注意是由什么函数经过怎样的平移变换而得到的；③用最值求解一定要解出角的通解，然后根据题意条件，决定φ的取值范围．思考题3①(2010·重庆卷)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示，则()A．ω＝1，φ＝π6B．ω＝1，φ＝－π6C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝－π6【解析】依题意得T＝2πω＝4(7π12－－π3)＝π，ω＝2，sin(2×π3＋φ)＝1，又|φ|π2，所以2π3＋φ＝π2，φ＝－π6，选D.【答案】D函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)的图象如图，求其表达式．【解析】由图象可知A＝2，T＝78π－(－π8)＝π，即2πω＝π，所以ω＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)．又(－π8，0)为五点作图的第一个点，因此2×(－π8)＋φ＝0，所以φ＝π4.所以所求函数的表达式为y＝2sin(2x＋π4)．•题型四函数y=Asin﹙ωx+φ﹚+b•例4如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.•(1)求h与θ间的函数关系式；•(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？•【思路分析】(1)以圆心O为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义求出点B的纵坐标，则h与θ之间的关系可求．【解析】(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－π2，故点B的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))，∴h＝5.6＋4.8sin(θ－π2)．(2)点A在圆上转动的角速度是π30，故t秒转过的弧度数为π30t，∴h＝5.6＋4.8sin(π30t－π2)，t∈[0，＋∞)．到达最高点时，h＝10.4m.由sin(π30t－π2)＝1得π30t－π2＝π2，∴t＝30，∴缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒．•探究4面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能．这个过程并不神秘，比如本例题，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程，在高考中，将实际问题转化为与三角函数有关的问题的常见形式有：求出三角函数的解析式；画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题．•思考题4已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下面是某日各时的浪高数据：•经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.•(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；•(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00至20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由题意知，T＝12，∴ω＝2πT＝2π12＝π6.由t＝0，y＝1.5得A＋b＝1.5.①由t＝3，y＝1.0得b＝1.0.②∴A＝0.5，b＝1.∴振幅为12.∴y＝12cosπ6t＋1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，∴12cosπ6t＋11.∴cosπ6t0.∴2kπ－π2π6t2kπ＋π2，即12k－3t12k＋3.③∵0≤t≤24，故可令③中k分别为0,1,2，得0≤t≤3或9t15或21t≤24.∴在规定的8：00至20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即9：00至15：00.本课总结•1．五点法作函数图象及函数图象变换问题•(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向．•(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，