2015高考第一轮复习：5-7正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理基础知识回顾一、几个常用的结论,,,,,,cbaCBAABC的对边分别为中角..1CBA..2BAba.600,.3AA则为最小角若.18060,AA则为最大角若4、由三角形内角和定理和诱导公式可以推出：;cos)cos(;sin)sin()2(ACBACB2sin2cos;2cos2sin)3(CBACBA.sinsin,4BABAABC中在;0sin)1(A二、正弦定理和余弦定理正弦定理中在,.1ABCRCcBbAa2sinsinsin)(为三角形外接圆的半径RCRcBRbARasin2,sin2,sin2.的工具是三角形中边和角互化提示1．利用正弦定理可解以下两类问题①已知两角和一边，求其他两边和一角．②已知两边和其中一边的对角，求其他两角和一边．2．注意正弦定理有以下常用变形式①a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；②a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.③a＋c＝2b→sinA＋sinC＝2sinB；b2＝ac→sin2B＝sinA·sinC.余弦定理中在,.2ABC2a2b2cAbccbcos222Baccacos222Cabbacos222,2cos222bcacbA或,2cos222acbcaB;2cos222abcbaC提示1：余弦定理可解以下两类问题①已知三角形三边求三角；②已知三角形两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．2.在△ABC中，C为最大角，则①C为锐角⇔a2＋b2c2；②C为直角⇔a2＋b2＝c2；③C为钝角⇔a2＋b2c2.三、三角形常用的面积公式).(21.1边上的高表示ahhaSaaBacAbcCabSsin21sin21sin21.2).)((21.3为内切圆半径rcbarS四、射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝acosC＋ccosAc＝acosB＋bcosA.课前热身1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝()A．42B．43C．46D.323解析：A＝180°－60°－75°＝45°，asinA＝bsinB⇒822＝b32，b＝46.答案：C2．(2012年高考·广东卷)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32解析：由正弦定理得：BCsinA＝ACsinB⇔32sin60°＝ACsin45°⇔AC＝23.答案：B3．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析：cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝52＋32－722×5×3＝－12，故∠BAC＝23π.答案：A4．在△ABC中，若sinB＝32，则B＝________.解析：∵B∈(0，π)，且sinπ3＝sin2π3＝32，∴B＝π3或2π3.答案：π3或2π35．在△ABC中，若∠B＝60°，sinA＝13，BC＝2，则AC＝______.解析：由正弦定理ACsinB＝BCsinA∴AC＝BC·sinBsinA＝33答案：336．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c.若a，b，c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝________.解析：b2＝ac，c＝2a，cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a24a2＝34.答案：34例题精讲【分析】已知两边及一对角，这样的三角形可能不唯一．正弦定理的运用【例1】在△ABC中，a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．(1)若a＝52，b＝10，A＝30°，则B＝________；(2)若a＝52，b＝10，B＝45°，则A＝________.【解析】(1)由正弦定理，得sinB＝bsinAa＝22，∵ba，∴AB180°，∴B＝45°，或135°.(2)∵asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝12，∵ab，∴0°AB＝45°，∴A＝30°.【答案】(1)45°，或135°(2)30°【评析】已知两边和其中一边的对角，可用正弦定理求其余的边和角，但应注意解的情况．如由asinA＝bsinB求B时，可能有一解、二解或无解三种情况，具体判断如下表：变式引申：(2013年高考·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.(Ⅰ)求cosA的值；(Ⅱ)求c的值．【解】(Ⅰ)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.由正弦定理asinA＝bsinB，得3sinA＝26sin2A.整理得2sinAcosAsinA＝263，故cosA＝63.(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知cosA＝63，所以sinA＝1－cos2A＝33.又∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝13.所以sinB＝1－cos2B＝223.在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝539.所以c＝asinCsinA＝5.解法2：在△ABC中，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝69.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，解得c＝5.解法3：由(Ⅰ)知cosA＝63，∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝13.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得24＝9＋c2－2c，即c2－2c－15＝0，解得c＝5或c＝－3.因为c0，所以c＝5.解法4：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得9＝24＋c2－2×26c×63，整理得c2－8c＋15＝0.解得c＝3或c＝5.若c＝3，因为a＝3，所以∠A＝∠C.由已知∠B＝2∠A，可知∠B＝90°，从而b＝32，与已知b＝26不符，故舍去c＝3.所以c＝5.【例2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a＝23，B＝30°，c＝3b，则c＝________.余弦定理的运用【解析】解法1：由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，所以13c2＝12＋c2－6c即c2－9c＋18＝0∴c＝3或6解法2：由c＝3b有sinC＝3sinB＝32，∴C＝60°，或C＝120°，当C＝60°，则A＝90°，∴a2＝b2＋c2＝43c2，∴c＝32a＝3；当C＝120°，有A＝30°，∴b＝a＝23，∴c＝3b＝6.【答案】3或6解法2：由c＝3b有sinC＝3sinB＝32，∴C＝60°，或C＝120°，当C＝60°，则A＝90°，同类演练：在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则边AC上的高h＝()A.322B.332C.32D．33【解析】由余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝12.∴A＝60°.∴12AB·ACsinA＝12AC·h.解得h＝AB·sinA＝332.【答案】B【例3】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c＝2，又向量m＝(1，cosC)，n＝(cosC,1)，m·n＝1.(1)若A＝π4，求a，b的值；(2)若a＋b＝4，求△ABC的面积．正余弦定理的综合运用【解】(1)∵m·n＝cosC＋cosC＝2cosC＝1∴cosC＝12，∵0°C180°，∴C＝60°由正弦定理得，asin45°＝2sin60°，bsin75°＝2sin60°，∴a＝223＝263，b＝32＋63(2)∵c＝2，C＝60°，∴a2＋b2－2abcos60°＝4，∴a2＋b2－ab＝4，又∵a＋b＝4，∴a2＋b2＋2ab＝16，∴ab＝4，∴S△ABC＝12absinC＝3.同类演练：(2015年河北质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcosC＝(4a－c)cosB.(1)求cosB；(2)若b＝34，S△ABC＝3152，求a，c的值．【解】(1)由题设有4acosB＝bcosC＋ccosB＝a，∴cosB＝14.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，∴34＝a2＋c2－12ac①由(1)知sinB＝1－cos2B＝154∴S△ABC＝12acsinB＝158ac＝3152∴ac＝12②由(1)(2)解得a＝2c＝6或a＝6c＝2.错题反思【例】已知A、B、C是△ABC的三个内角，且lgsinA－lgsinB－lgcosC＝lg2，试判断此三角形的形状特征．【分析】先去掉对数符号将其化为有理式，然后经过三角函数恒等变形寻求A、B、C的关系，进而判断三角形的形状特征．【错解】由lgsinA－lgsinB－lgcosC＝lg2，得lgsinA＝lgsinB＋lgcosC＋lg2，即lgsinA＝lg2sinBcosC，∴sinA＝2sinBcosC，即sin(B＋C)＝2sinBcosC.展开整理得sin(B－C)＝0在△ABC中，由sinA＝sinB推得A＝B∴B－C＝0∴B＝C∴sinA＝sin2B…*，∴A＝2B.又∵A＋B＋C＝180°，∴4B＝180°，∴B＝45°，C＝45°，A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．【正解】(接以上*处)∴A＝2B或A＝π－2B.当A＝2B时，A＋B＋C＝4B＝π，∴B＝C＝π4，A＝π2，此时△ABC为等腰直角三角形．当A＝π－2B时，A＋B＋C＝π显然成立，由B＝C知△ABC为等腰三角形．综上知，△ABC为等腰三角形．反思：由sinA＝sinB＝sin(π－B)知A＝B或A＝π－B.补充题1(2013年湖北高考)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c。已知cos23cos1ABC。（I）求角A的大小；（II）若ABC的面积53S，5b，求sinsinBC的值。解：（I）由已知条件得：cos23cos1AA22cos3cos20AA，解得1cos2A，故角60A（II）1sin532SbcA4c，由余弦定理得：221a，222228sinaRA25sinsin47bcBCR补充题2（2014浙江高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知,3abc22coscos3sincos3sincosABAABB（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若4sin5A，求△ABC的面积．（Ⅰ）由题得1cos21cos233sin2sin22222ABAB，即3131sin2cos2sin2cos22222AABBsin(2)sin(2B)66A由ab得AB，又(0,)AB，得22B66A即23AB，所以3C（Ⅱ）3c，4sin5A，sinsinCacA，得85a由ac得AC，从而3cos5A故sinsin()BAC=433sinAcosCcosAsinC10所以，△ABC的面积为18318sin225SacB