2017步步高大一轮复习讲义数学4.6

1．公式的常见变形(1)1＋cosα＝2cos2α2；1－cosα＝2sin2α2；(2)1＋sinα＝(sinα2＋cosα2)2；1－sinα＝(sinα2－cosα2)2.(3)tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.2．辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝aa2＋b2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.(×)(2)设α∈(π，2π)，则1－cosπ＋α2＝sinα2.(×)(3)在非直角三角形中有：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．(√)(4)设5π2θ3π，且|cosθ|＝15，那么sinθ2的值为155.(×)(5)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(×)1．已知cosα＝13，α∈(π，2π)，则cosα2等于()A.63B．－63C.33D．－33答案B解析∵α2∈(π2，π)，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－23＝－63.2.2sin235°－1cos10°－3sin10°的值为()A．1B．－1C.12D．－12答案D解析原式＝2sin235°－1212cos10°－32sin10°＝－cos70°2sin20°＝－12.3．(教材改编)sin15°－3cos15°＝________.答案－2解析sin15°－3cos15°＝2sin(15°－60°)＝－2sin45°＝－2.4．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为______．答案8解析∵f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx＝2sinxcosx＝4sin2x，∴fπ12＝4sinπ6＝8.5．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.答案π3解析由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.题型一三角函数式的化简与求值例1(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.(2)已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________.答案(1)12cos2x(2)268解析(1)原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(2)∵α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝268.思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．(1)cosπ9·cos2π9·cos－23π9等于()A．－18B．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于()A.54B．－54C.43D．－43答案(1)A(2)D解析(1)原式＝cosπ9·cos29π·cos(－3π＋49π)＝－cosπ9·cos29π·cos49π·sinπ9sinπ9＝－12sin29π·cos29π·cos49πsinπ9＝－18sin89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos2α2sinαcosα＝cosαsinα＝12，∴tanα＝2，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝41－4＝－43.题型二三角函数的求角问题例2(1)已知锐角α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，则α＋β等于()A.3π4B.π4或3π4C.π4D．2kπ＋π4(k∈Z)(2)已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα、tanβ，且α、β∈－π2，π2，则α＋β等于()A.π8B．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案(1)C(2)B解析(1)由sinα＝55，cosβ＝31010且α，β为锐角，可知cosα＝255，sinβ＝1010，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝255×31010－55×1010＝22，又0α＋βπ，故α＋β＝π4.(2)依题意有tanα＋tanβ＝－3a，tanα·tanβ＝3a＋1，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝－3a1－3a＋1＝1.又tanα＋tanβ＜0，tanα·tanβ＞0，∴tanα＜0且tanβ＜0.∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4.思维升华通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，则选正弦较好．(1)已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanA·tanB，则C等于()A.π3B.2π3C.π6D.π4答案(1)C(2)A解析(1)∵α、β均为锐角，∴－π2α－βπ2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，∴cosα＝255，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22.∴β＝π4.(2)由已知可得tanA＋tanB＝3(tanA·tanB－1)，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3，又0A＋Bπ，∴A＋B＝23π，∴C＝π3.题型三三角恒等变换的应用例3已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．解(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝22(sinx＋cosx)－2sinx＝22cosx－22sinx＝sinπ4－x，因为x∈[0，π]，从而π4－x∈－3π4，π4，故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.(2)由fπ2＝0，fπ＝1.得cosθ1－2asinθ＝0，2asin2θ－sinθ－a＝1，由θ∈－π2，π2知cosθ≠0，解得a＝－1，θ＝－π6.思维升华三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx的最大值为________．(2)函数f(x)＝sin(2x－π4)－22sin2x的最小正周期是________．答案(1)1(2)π解析(1)因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sinφcosx＝sinxcosφ－cosxsinφ＝sin(x－φ)，－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.(2)f(x)＝22sin2x－22cos2x－2(1－cos2x)＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin(2x＋π4)－2，∴T＝2π2＝π.8．化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例(12分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性．思维点拨(1)讨论形如y＝asinωx＋bcosωx型函数的性质，一律化成y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数．(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sinx的图象解决．规范解答解(1)f(x)＝sinπ2－xsinx－3cos2x＝cosxsinx－32(1＋cos2x)＝12sin2x－32cos2x－32＝sin2x－π3－32，[4分]因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分](2)当x∈π6，2π3时，0≤2x－π3≤π，[7分]从而当0≤2x－π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增，[9分]当π2≤2x－π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减．[11分]综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减．[12分]温馨提醒(1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y＝Asin(ωx＋φ)，φ的确定一定要准确．(2)将ωx＋φ视为一个整体，设ωx＋φ＝t，可以借助y＝sint的图象讨论函数的单调性、最值等．[方法与技巧]1．三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换．2．利用三角函数值求角要考虑角的范围．3．与三角函数的图象与性质相结合的综合问题．借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决．[失误与防范]1．利用辅助角公式，asinx＋bcosx转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．2．计算形如y＝sin(ωx＋φ),x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．A组专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·陕西)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝0；cos2α＝0⇔cosα＝±sinα⇒/sinα＝cosα，故选A.2．已知sin2α＝23，则cos2α＋π4等于()A.16B.13C.12D.23答案A解析因为cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π42＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos2α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A.3．若α∈π2，π，且3cos2α＝sinπ4－α，则sin2α的值为()A.118B．－118C.1718D．－1718答案D解析cos2α＝sinπ2－2α＝sin2π4－α＝2sinπ4－αcosπ4－α代入原式，得6sinπ4－αcosπ4－α＝sinπ4－α，∵α∈π2，π，∴cosπ4－α＝16，∴sin2α＝cos