5_2梁弯曲时的位移(6学时)解析

第五章梁弯曲时的位移(6学时)Dept.ofMech.2dfafdf刘升贵力学系副主任Dept.ofMech.3dfafdf梁弯曲时的位移•5-1梁的位移—挠度及转角•5-2梁的挠曲线近似微分方程•5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角•5-5梁的刚度校核.提高弯曲刚度的措施•5-6梁内的弯曲应变能Dept.ofMech.4dfafdfqLABmP2381234mlPlqlEIfBmlPlqlEIB26123Dept.ofMech.5dfafdf由于内力是载荷的线性函数。称为叠加原理1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）因此同理，结构中的位移（如）也是载荷的线性函数，故也有,,,wumqFmqF2.弯曲位移计算的载荷叠加法§5-3按叠加原理计算梁的挠度和转角Dept.ofMech.6dfafdf叠加法求弯曲变形•叠加原理=+2121MMM21QQQ...11P2P21P2P几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独效果之和叠加原理成立的前提条件：（1）小变形（2）材料满足虎克定理（线性本构关系）“效果”—指载荷引起的反力、内力、应力或变形“之和”——代数和Dept.ofMech.7dfafdf叠加法求弯曲变形在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形(挠度和转角)成线性关系。当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。Dept.ofMech.8dfafdf求图示梁的EI2l2lqPABCcw45384cqqlwET348cPPlwEIPcPw例题1cqwqDept.ofMech.9dfafdf例2按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。36FCFawEIEIFaFA424524qCqawEIEIqaqA33qqFF=+AAABBBCaaDept.ofMech.10dfafdfq+AB=ABqFABCaa叠加qAPAA)43(122qaFEIa435246CqaFawEIEIFDept.ofMech.11dfafdf例3：求?cf422020034482402lcqlqdxxwlxEIEIqxqL2l2l0qxqdxEIACBxqdxPDept.ofMech.12dfafdf例4：求?cf02cwEIlqwwcc3842541CAB2l2lqEI2q1cw2q2q2cwDept.ofMech.13dfafdf12CB12CCC例5按叠加原理求C点挠度222121lDept.ofMech.14dfafdf结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+FL1L2ABCBCFL2f1等价等价xw21fFL1L2ABC刚化AC段FL1L2ABC刚化BC段FL1L2ABCMxwxwf2Dept.ofMech.15dfafdfF2=2kNL=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNB例6下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm,杆的E=210GPa，求C点的挠度,B点的转角。=++=F1=1kNABDCF2BCDAF2=2kNBCDAF2BCaF2BCDAMDept.ofMech.16dfafdfF2BCa=++图1图2图3211116CBFLawaEIEILFB16211EILaFEIMLB332322333CBFLawaEI解：结构变换，查表求简单载荷变形。0B23223CFawEIAL=400mmF2=2kNCa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMDept.ofMech.17dfafdfF2BCa=++图1图2图3F2=2kNAL=400mmCa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNABDCF2BCDAMxf2321221633CFLaFaFaLwEIEIEIEILaFEILFB316221叠加求复杂载荷下的变形48124444m1018810)4080(6414.3)(64dDIDept.ofMech.18dfafdf232122616335.1910mCFLaFaFaLwEIEIEI)(10423.0)320016400(18802104.03164221弧度EILaFEILFBDept.ofMech.19dfafdf例：用叠加法求vCAB、、Dept.ofMech.20dfafdf解：vC53844qlEIPlEI348mlEI216AqlEI324PlEI216mlEI3BqlEI324PlEI216EIlm6Dept.ofMech.21dfafdf例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。Dept.ofMech.22dfafdf解：vqaEIC523844()PaaEI()21620Pqa56Dept.ofMech.23dfafdf例：若图示梁B端的转角θB=0，则力偶矩ｍ等于多少？Dept.ofMech.24dfafdf解：BPaEI22maEI20mPa4Dept.ofMech.25dfafdfⅠ.梁的刚度校核对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffnesscondition)：式中，l为跨长，为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，[]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度条件。lwlwlwmax][max§5-5梁的刚度校核·提高弯曲刚度的措施Dept.ofMech.26dfafdf土建工程中通常只限制梁的挠跨比，。在机械工程中，对于主要的轴，；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，。10001~2501lw100001~50001lwrad001.0~005.0Dept.ofMech.27dfafdf例题1图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170MPa，[]=100MPa，E=210GPa，。4001lwDept.ofMech.28dfafdf解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作更改。Dept.ofMech.29dfafdf1.按正应力强度条件选择槽钢型号作梁的剪力图和弯矩图3663maxm10367Pa10170mN104.62MWzMmax=62.4kN·mDept.ofMech.30dfafdf由型钢表查得20a号槽钢其Wz=178cm3超过许用弯曲正应力的百分数为(175-170)/170≈3%，未超过5%，故允许。事实上即使把梁的自重(2×22.63kg/m=0.4435kg/m)考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到5%。MPa175Pa10175m101782mN104.626363max现加以检验：Dept.ofMech.31dfafdf2.按切应力强度条件校核最大剪力FS,max=138kNN10692kN13823max,SF3*max,mm000104211100773111005010073zSDept.ofMech.32dfafdf其值小于许用切应力[]=100MPa，故选用20a号槽钢满足切应力强度条件。每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为Iz=1780cm4于是MPa57.6Pa106.57m)107)(m10(1780m10104N)1069()2/(6348-3-63max,max,SmaxdISFzzDept.ofMech.33dfafdf3.按刚度条件校核此简支梁上各集中荷载的指向相同，故可将跨中截面C的挠度wC作为梁的最大挠度wmax。查表得跨中挠度wC的计算公式为可见，对于此梁上的左边两个集中荷载，应为EIblFbwC484322EIalFawC484322Dept.ofMech.34dfafdf于是由叠加原理可得m1066.4m1078012Pa1021048mN101671]m6.04m4.23m6.0N1012m9.04m4.23m9.0N1040m8.04m4.23m8.0N1030m4.04m4.23m4.0N10120[48134892322223222232222322223maxEIwwC而许可挠度为由于wmax[w]，故选用20a号槽钢满足刚度条件。m106m4.240013llwwDept.ofMech.35dfafdfⅡ.提高梁的刚度的措施(1)增大梁的弯曲刚度EI由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E≈210GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。Dept.ofMech.36dfafdf跨长为l的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为22max125.08qlqlMEIqlEIqlw44max0130.03845(2)调整跨长和改变结构的体系Dept.ofMech.37dfafdf如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为22max0214.02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000.01622238425(a)Dept.ofMech.38dfafdf而此时外伸端D和E的挠度也仅为)(207000.02)2(224)2(84234EIqlaEIalqaaEIalqEIqawwEDDept.ofMech.39dfafdf所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座。Dept.ofMech.40dfafdf等直梁在线弹性范围内工作时，由于作用在梁上的外力作功而在梁内蓄积的弯曲应变能Ve，并利用功能原理来求梁在简单荷载情况下的位移。等直梁在线弹性范围内纯弯曲时(图a)，其曲率为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在梁弯曲后对应的圆心角为EIM1§5-6梁内的弯曲应变能Dept.ofMech.41dfafdfEIlMEIMlle(a)Dept.ofMech.42dfafdf(b)图b示出了Me与的上列线性关系。图b中斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值Me过程中，外力偶所作的功：它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能：MMV2121eε将代入上式可得EIlMEIMleEIlMVEIlMV2,22ε2eεe21MWDept.ofMech.43dfafdf梁在横力弯曲时，既有与弯曲变形相应的弯曲正应变能，又有与剪切变形相应的剪切应变能。但如同在§5-2开始时所