必修五解三角形练习题

第1页（共16页）一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2）3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A．B．C．（0，2）D．4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（）A．csinA=asinBB．bcosA=acosBC．asinA=bsinBD．asinB=bsinA5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B等于（）A．B．C．D．或第2页（共16页）10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．D．二．填空题（共1小题）11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则的值为．三．解答题（共7小题）12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bccosA=3，△ABC的面积为2．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=2，求b+c的值．14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且=．（1）求角B的大小；（2）△ABC的外接圆半径是，求三角形周长的范围．第3页（共16页）15．在△ABC中，（2a﹣c）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）求2cos2A+cos（A﹣C）的取值范围．16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边长，且（2c﹣b）cosA=acosB．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积S的最大值．17．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，a2﹣b2=bc，AD为角A的平分线，且△ACD与△ABD面积之比为1：2．（1）求角A的大小；（2）若AD=，求△ABC的面积．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2a+c）cosB+bcosC=0（1）求角B的大小．（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．（3）求y=sin2A+sin2C的取值范围．第4页（共16页）必修五22222练习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．在△ABC中，sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先根据sinA=sinB时，则有A=B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件；同时△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，则sinA和sinB不一定相等，故可推断出sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．【解答】解：当sinA=sinB时，则有A=B，则△ABC为等腰三角形，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件，反之，当△ABC为等腰三角形时，不一定是A=B，若是A=C≠60时，则sinA≠sinB，故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的不必要条件．故选A．【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断．解题的时候注意条件的先后顺序．2．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若这样的△ABC有两个，则实数x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2）【分析】先利用正弦定理表示出x，进而根据B=45°可知A+C的值，进而可推断出若有两解，则A有两个值，先看A≤45°时推断出A的补角大于135°，与三角形内角和矛盾，进而可知A的范围，同时若A为直角，也符合，进而根据A的范围确定sinA的范围，进而利用x的表达式，求得x的范围，【解答】解：由正弦定理可知，求得x=2sinA第5页（共16页）A+C=180°﹣45°=135°有两解，即A有两个值这两个值互补若A≤45°则由正弦定理得A只有一解，舍去．∴45°＜A＜135°又若A=90°，这样补角也是90度，一解，A不为90°所以＜sinA＜1∵x=2sinA∴2＜x＜2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题．考查了学生推理能力和分类讨论的思想的运用．3．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A．B．C．（0，2）D．【分析】由正弦定理得，再根据△ABC是锐角三角形，求出B，cosB的取值范围即可．【解答】解：由正弦定理得，∵△ABC是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有，0＜π﹣C﹣B=π﹣3B＜解得，又余弦函数在此范围内是减函数．故＜cosB＜．∴＜＜故选A【点评】本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质．易错点是B角的范围确定不准确．第6页（共16页）4．在△ABC中，下列等式恒成立的是（）A．csinA=asinBB．bcosA=acosBC．asinA=bsinBD．asinB=bsinA【分析】直接利用正弦定理判断选项即可．【解答】解：由正弦定理可知：csinA=asinB，即sinCsinA=sinBsinB，不恒成立．bcosA=acosB，即sinBcosA=sinAcosB，不恒成立．asinA=bsinB，即sinAsinA=sinBsinB，不恒成立．asinB=bsinA，即sinAsinB=sinBsinA，恒成立．故选：D．【点评】本题考查正弦定理的应用，基本知识的考查．5．已知在△ABC中，若αcosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（）A．锐角三角形或钝角三角形B．以a或b为斜边的直角三角形C．以c为斜边的直角三角形D．等边三角形【分析】利用正弦定理，和差化积公式可得cos（A﹣B）=cosC，A=B+C，或B=A+C，再由三角形内角和公式可得A=，或B=，即可得答案．【解答】解：在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC，则：sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，∴sin2A+sin2B=sin2C，2sin（A+B）cos（A﹣B）=2sinCcosC，∴cos（A﹣B）=cosC，∴A﹣B=C，或B﹣A=C，即：A=B+C，或B=A+C．再根据A+B+C=π，可得：A=，或B=，故△ABC的形状是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查正弦定理，和差化积公式，三角形内角和公式，得到cos（A﹣B）=cosC是解题的关键，属于基本知识的考查．6．在△ABC中，若cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【分析】根据三角函数的诱导公式进行化简即可．第7页（共16页）【解答】解：∵cosAsinB+cos（B+C）sinC=0，∴cosAsinB﹣cosAsinC=0，即cosA（sinB﹣sinC）=0，则cosA=0或sinB﹣sinC=0，即A=或B=C，则△ABC的形状等腰或直角三角形，故选：D【点评】本题考查三角形的形状判断，解题的关键是正确三角函数的诱导公式进行化简，属于基础题7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，则∠B为（）A．B．C．D．【分析】通过正弦定理及=求出tanB的值，进而求出B的值．【解答】解：由正弦定理得：，而=，两式相乘得tanB=，由于0＜B＜π，从而B=．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．8．在△ABC中，已知sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，第8页（共16页）因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．所以三角形是等腰三角形．故选：C．【点评】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力．9．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，b=1，则角B等于（）A．B．C．D．或【分析】由正弦定理可得，可得，结合b＜a可得，从而可求B．【解答】解：由正弦定理可得，∴==∵b＜a∴∴故选B．【点评】本题主要考查例正弦定理在解三角形中的应用，注意不要漏掉了大边对大角的考虑，不然会错写完B=．10．在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜2C．D．【分析】利用正弦定理和b和sinB求得a和sinA的关系，利用B求得A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若A≤45°，则和A互补的角大于135°进而推断出A+B＞180°与三角形内角和矛盾；进而可推断出45°＜A＜135°若A=90，这样补角也是90°，一解不符合题意进而可推断出sinA的范围，利用sinA和a的关系第9页（共16页）求得a的范围．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选C【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．二．填空题（共1小题）11．（文）在△ABC中，∠A=60°，b=1，△ABC的面积为，则的值为2．【分析】先利用面积公式，求出边a=2，再利用正弦定理求解比值．【解答】解：由题意，∴c=2∴a2=b2+c2﹣2bccosA=3∴a=∴故答案为2【点评】本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．第10页（共16页）三．解答题（共7小题）12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a≠b，c=，cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．【分析】（1）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简已知的式子，再由内角的范围求出角C；（2）由余弦定理和条件列出方程化简，利用基本不等式求出ab的范围，代入三角形的面积公式可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵cos2A﹣cos2B=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=，则cos2A﹣cos2B=（sin2A﹣sin2B），即sin2B﹣cos2B=sin2A﹣cos2A，∴sin（）=sin（）∵a≠b，且A、B∈（0，π），∴A≠B，则≠，∴，解得A+B=，∴C=π﹣A﹣B=；（2）由（1）知，C=，且c=，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则3=a2+b2﹣ab，即a2+b2=ab+3≥2ab，解得ab≤3，∴△ABC的面积S==ab≤，故△ABC的面积的最大值是．【点评】本题考查了余弦定理，二倍角公式、两角和差的正弦公式，以及三角形的面积公式，基本不等式求最值