2012高考数学总复习 第5章第2课时等差数列及其前n项和精品课件 文 新人教a版

第2课时等差数列及其前n项和考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考第课时等差数列及其前项和温故夯基·面对高考2n温故夯基·面对高考1．等差数列的基本问题(1)定义如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母____表示，定义的表达式为_____________.(2)通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an＝_________________.2同一个常数公差dan＋1－an＝da1＋(n－1)d(3)等差中项如果a，A，b成等差数列，那么_____叫做a与b的等差中项且__________.AA＝a＋b2思考感悟A＝a＋b2是a，A，b成等差数列的什么条件？提示：充要条件．A＝a＋b2⇒2A＝a＋b⇒A－a＝b－A⇒a，A，b成等差数列．反之，若a，A，b成等差数列，则A＝a＋b2.故A＝a＋b2是a，A，b成等差数列的充要条件．(4)前n项和公式Sn＝na1＋nn－12d＝___________.a1＋ann22．等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则_________________.特别地：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为_____.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．am＋an＝ap＋aqkd考点探究·挑战高考等差数列的判定证明一个数列{an}是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an＋1－an＝d(n∈N*)，二是利用等差中项法，即证明：an＋2＋an＝2an＋1(n∈N*)．在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法．考点突破例1已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)求证：对任意实数p和q，数列{an＋1－an}是等差数列．【思路分析】(1)直接运用定义证明；(2)视an＋1－an为一整体再用定义法即可．【解】(1)an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q，要使{an}是等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0.故当p＝0时，数列{an}是等差数列．(2)证明：∵an＋1－an＝2pn＋p＋q，∴an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q，而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p为一个常数．∴{an＋1－an}是等差数列．【方法小结】证明{an}为等差数列除了可以利用定义法及中项法外还可以利用：(1)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列．(2)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝na1＋an2.等差数列的基本运算(1)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行．(2)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．(2010年高考山东卷)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.例2【思路分析】(1)利用公式先求a1和d，再求an和Sn；(2)利用裂项法求{bn}的前n项和Tn.【解】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，所以a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2.由于an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋an2，所以an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．(2)因为an＝2n＋1，所以a2n－1＝4n(n＋1)，因此bn＝14nn＋1＝14(1n－1n＋1)．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＝n4n＋1.所以数列{bn}的前n项和Tn＝n4n＋1.【误区警示】由bn＝14nn＋1＝14(1n－1n＋1)时，易漏系数14，再者对相消后所剩的项不明确．变式训练已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225.(1)求数列{an}的通项an；(2)设bn＝＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.2na解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意，得a1＋2d＝515a1＋15×142d＝225，解得a1＝1d＝2，∴an＝2n－1.(2)bn＝2na＋2n＝12·4n＋2n，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)＝4n＋1－46＋n2＋n＝23·4n＋n2＋n－23.等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(4)S2n－1＝(2n－1)an.(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝n2d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．(6)数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．例3(1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n及a9＋a10；(2)等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn＝3n－12n＋3，求a8b8的值．【思路分析】(1)可利用前6项与后6项的和及等差数列的性质求出a1＋an的值，(2)可先利用中项公式求解，然后利用前n项和公式求出项数n.【解】(1)由题意可知a1＋a2＋…＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36.又Sn＝na1＋an2＝324，∴18n＝324.∴n＝18.∴a1＋a18＝36.∴a9＋a10＝a1＋a18＝36.(2)∵SnTn＝3n－12n＋3，∴S15T15＝3×15－12×15＋3＝4433＝43.∵S15＝15a1＋a152＝15a8，T15＝15b1＋b152＝15b8，∴a8b8＝15a815b8＝S15T15＝43.【名师点评】(1)中解法运用了等差数列的性质，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简洁，应注意运用；(2)小题中，直接得出Sn＝(3n－1)k，Tn＝(2n＋3)k，然后求a8，b8.这种做法是错误的．互动探究本例(2)中条件不变，求a2＋a9＋a13b5＋b7＋b12的值．解：a2＋a9＋a13b5＋b7＋b12＝3a83b8＝a8b8＝43.方法感悟方法技巧1．等差数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项公式：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a1与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式．3．要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如an＝am＋(n－m)d，S2n－1＝(2n－1)an等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为(1)a，a＋d，a＋2d；(2)a－d，a，a＋d；(3)a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．失误防范1．如果p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as，一般地，ap＋aq≠ap＋q，必须是两项相加，当然可以是ap－t＋ap＋t＝2ap(如例3(1))．2．等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d＝0.3．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．考向瞭望·把脉高考通过对近几年高考试题的统计分析不难发现，等差数列作为最基本的数列模型之一，一直是高考重点考查的对象．难度属中低档的题目较多，但也有难度偏大的题目．其中，选择题、填空题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．考情分析预测2012年广东高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．规范解答例(本题满分12分)(2010年高考课标全国卷)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9得a1＋2d＝5，a1＋9d＝－9，可解得a1＝9，d＝－2，4分所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n.6分(2)由(1)知，Sn＝na1＋nn－12d＝10n－n2.8分因为Sn＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，Sn取得最大值.12分【名师点评】本题难度较小，考查等差数列的基本运算，80%的考生都能拿到全分，本题(2)中也可利用an≥0而an＋10求解．名师预测1．{an}是首项a1＝1，公差d＝3的等差数列，若an＝292，则序号n等于()A．98B．99C．100D．101答案：A2．(2010年高考重庆卷)在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5B．6C．8D．10答案：A3．(教材习题改编)在等差数列{an}中Sn为其前n项和，且S3＝12，a5＝7，则S8等于()A．31B．52C．69D．92答案：B答案：－5n2＋n24．已知数列的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.