人教版高一数学圆的方程经典例题解析卷[好打印24页]

1/24人教版高一数学圆的方程经典例题例1圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？典型例题三例3求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．2/24典型例题四例4圆034222yxyx上到直线01yx的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个典型例题五例5过点43，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆42122yxC：有公共点，如图所示．典型例题六例6已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．PEOyx3/24GOBNMyAx图3CA’典型例题七例7自点33，A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆典型例题八例8如图所示，已知圆422yxO：与y轴的正方向交于A点，点B在直线2y上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹．4/24典型例题九例9求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．典型例题十例10已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值．5/24典型例题十一例11求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．典型例题十二例12设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程．6/24典型例题十三例13两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．典型例题十四例14已知对于圆1122yx上任意一点yxP，，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范围．7/24典型例题十五例15试求圆sin2,cos2yx(为参数)上的点到点)4,3(A距离的最大(小)值．典型例题十六例16已知圆的方程为222ryx，圆内有定点),(baP，圆周上有两个动点A、B，使PBPA，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．8/24典型例题十七例17设点),(yxP是圆122yx是任一点，求12xyu的取值范围．典型例题十八例18已知对于圆1)1(22yx上任一点),(yxP，不等式0myx恒成立，求实数m的取值范围．9/24典型例题十九例19(1)已知圆1)4()3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求22yxd的最大、最小值．典型例题二十例20有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍．已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．10/24人教版高一数学圆的方程经典例题参考答案解析例1圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r．设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又123dr．∴与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043myx，则1431122md，∴511m，即6m，或16m，也即06431yxl：，或016432yxl：．设圆9)3()3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d．∴1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．∴圆1O到01143yx距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点11/24就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．典型例题三例3求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax．∵圆心在0y上，故0b．∴圆的方程为222)(ryax．又∵该圆过)4,1(A、)2,3(B两点．∴22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r．所以所求圆的方程为20)1(22yx．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx．又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C∴半径204)11(22ACr．故所求圆的方程为20)1(22yx．又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22．∴点P在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？12/24典型例题四例4圆034222yxyx上到直线01yx的距离为2的点共有（）．（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：把034222yxyx化为82122yx，圆心为21，，半径为22r，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选C．典型例题五例5过点43，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆42122yxC：有公共点，如图所示．分析：观察动画演示，分析思路．解：设直线l的方程为34xky即043kykx根据rd有214322kkk整理得0432kk解得340k．典型例题六例6已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．解：∵点42，P不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为42xky根据rd∴21422kk解得43kPEOyx13/24GOBNMyAx图3CA’所以4243xy即01043yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2x．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0x、0y的值来解决，此时没有漏解．典型例题七例7自点33，A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆074422yxyxC：相切（1）求光线l和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A到切点所经过的路程．分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为33，，其次设过A的圆C的切线方程为33xky根据rd，即求出圆C的切线的斜率为34k或43k进一步求出反射光线所在的直线的方程为0334yx或0343yx最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为0334yx或0343yx光路的距离为MA'，可由勾股定理求得7222CMCAMA．说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解．典型例题八例8如图所示，已知圆422yxO：与y轴的正方向交于A点，点B在直线2y上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹．14/24分析：按常规求轨迹的方法，设),(yxH，找yx,的关系非常难．由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系．解：设),(yxH，),(''yxC，连结AH，CH，则BCAH，ABCH，BC是切线BCOC，所以AHOC//，OACH//，OCOA，所以四边形AOCH是菱形．所以2OACH，得.,2''xxyy又),(''yxC满足42'2'yx，所以)0(4)2(22xyx即是所求轨迹方程．说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．典型例题九例9求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：．圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC．又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734CA或134CA．(1)当)4,(1aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故可得1022a．∴所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．(2)当)4,(2aC时，2227)14()2(a，或2221)14()2(a(无解)，故622a．∴所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224)4()622(yx．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如2224)4()(yax．又圆042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为)1,2(A，半径为3．若两圆相切，则34CA．故2227)14()2(a，解之得1022a．所以欲求圆的方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx．上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形，而疏漏了圆心在直线0y下方的情形．另外，误解中没15/24有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．典型例题十例10已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值．分析：设P、Q两点的坐标为),(11yx、),(22yx，则由1