2-2初等函数(复变函数)

数学学院第二章解析函数第二节初等函数作业：P6314(2,4);15(2,4,6);16;17,18,19,20,22,24.数学学院2.1指数函数1.指数函数的定义(1)f(z)在复平面内处处解析；(2);fzfz(3)Im0,()xzfzeArgexp2xzezyk其中k为任意整数xfxe复习：.xxeeexpzzexiyexiyee(cossin)xeyiy例1求下列复数的幅角和模长：2341;2.iiee数学学院2.指数函数的性质：从而其中n正整数;(2)1212,zzzzeee(),znnzee0,ze(3)当时,其中Im()0z(),xfzeRe();xz(4)ze是周期函数,其周期是n非零整数,2,Tni2;znizee即(5)1ze的充分必要条件是n为整数.2,zni(1)ze是单值函数.数学学院例2设2112,(1);(2);(3)Rezzzzxiyeee求解12(1)ze122xyie122,xyiee1212||.zxee2(2)ze222xyxyie222,xyxyiee222||.zxyee1(3)zezzzexiyzzzzee(cossin),xzzyyeizzzz1Reze2222cos.xxyyexy数学学院2.2对数函数即把满足方程的函数称(0)wezz()wfz为z的对数函数，记作Ln.wz令则由,,iwuivzre(0),wezzln,uzvArgzlnwziArgzln(arg2)zizk0,1,2,.klnlnzziargzLnln20,1,2,.zzikk称为Lnz的主值uivieere例3求Ln2,Ln(-1)以及与它们相应的主值.数学学院2.对数函数的性质：12121Ln()LnLn,zzzz11212122Ln()LnLn(,0,,).zzzzzzzz(2)Lnz的各个分支在除去原点与负实轴的复平面内处处连续、处处解析.且Ln11,lnzzzz注意：LnLnnznzLnLn1nzzn是集合意义下的相等0zx时，就是实变对数函数.Ln222ln||arg2,zzzki2Ln2ln||2arg4.zzzki0,1,2,.k数学学院例5求n[(1)(1)]Lii的值.解例4求Ln(1)i的值.Ln(1)i=ln(1)2iki=ln224ikixy()zO1zi解Ln(1)(1)ii=Ln(2)=ln22ikiLn(1)(1)ii=Ln(1)L(1)ini3=ln224iki+ln224imi=ln22iki0,1,2,.k0,1,2,.k,0,1,2,.km0,1,2,.k数学学院2.3乘幂与幂函数1.乘幂的定义Lnbbaae具有q个不同的值.数学学院2.幂函数的解析性(1)幂函数zn在复平面内是单值解析的，且1nnznz(2)幂函数z1/n是多值函数，具有n个分支.它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的，且Ln11znnnzzeLn111111znneznzn它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是处处解析的.1bbzbz数学学院解例6求下列复数的值(1)1,(2),ii4(3)1.i(1)112(1)1Ln(1)2e1(ln|1|2)2ikie2ikie0(1)1(1)2iecossin22ii32ie33cossin22ii(2)iiLniie(+2k)2iiie(+2k)2.e4(3)1i1(ln22)44ikie1Ln(1)4ie11ln2(2)444ikiee1(2)8442.ikie0,1.k0,1,2,.k0,1,2,3.k数学学院2.4三角函数与双曲函数1.三角函数的定义正弦函数sin;2izizeezi余弦函数cos;2izizeez偶函数奇函数周期函数，周期为2正弦函数和余弦函数在复平面内是解析函数，且sincos,cossinzzzz数学学院(2)当z为纯虚数yi时，cos2yyeeyisin2yyeeyii注意：这一点是与实变函数完全不同的.例7解方程sin().izi解,2zzeeiisin,2izizeezi2zzee2210,zzee24412,2zeLn(12)z1ln(12)2zki1ln(21)2ziki0,1,2,.k数学学院2.其他复变三角函数的定义与sinz和cosz类似，可以讨论它们的周期性、奇偶性和解析性.3.双曲函数的定义chz,2zzeeshz,2zzeethz.zzzzeeee数学学院(sh)ch,(ch)sh.zzzz4.双曲函数的性质（1）（2）（3）chshcos,siniyyiyiychshchshcoscossinsinsincosxiyxyixyxiyxyixychshsinchchshshshchcos,cossincossiniyyiyiiyxiyxyixyxiyxyixy数学学院2.5反三角函数与反双曲函数1.反三角函数的定义记作ArccoswzArcLnwzizz2cos1ArcsinLn21ziizz1+iArctanLn1-i2izzzArcshLn21zzz2.反双曲函数的定义ArcchLn21zzz1+ArcthLn1-12zzz均是多值函数数学学院1.反三角函数的定义记作ArccoswzArcLn(2cos1)wzizz解均是多值函数cos,2iwiweezw2210,iwiweze22442iwzze21zz21Ln(1)wizz22Ln(1)wizz2Ln(1)izz数学学院基本初等函数:(1);wz(2);zwe(3)Ln;wz(4)sin;cos;tan;cot.wzwzwzwz(5)sin;cos;tan;cot.wArczwArczwArczwAecz复变初等函数:五类基本初等函数经有限次的四则运算和有限次的复合,而且可以用一个解析式表达的函数.数学学院数学学院例8求下列复数的值(1)34,i(2)(1),ii(3)3.i数学学院同学们辛苦了