高三一轮复习--5函数的定义域和值域

第二章函数、导数及其应用第二节函数的定义域和值域高考成功方案第一步高考成功方案第二步高考成功方案第三步高考成功方案第四步返回考纲点击会求一些简单函数的定义域和值域.返回返回1．函数g(x)＝x＋3的定义域为()A．{x|x≥－3}B．{x|x－3}C．{x|x≤－3}D．{x|x－3}解析：由x＋3≥0，得x≥－3.答案：A返回2．下表表示y是x的函数，则函数的值域是()A．[2,5]B．NC．(0,20]D．{2,3,4,5}x0x55≤x1010≤x1515≤x≤20y2345返回解析：函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．答案：D返回3．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()返回答案：C解析：由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A、B；再结合函数的性质，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.返回4．(2011·江西高考)若f(x)＝112log2x＋1，则f(x)的定义域为()A．(－12，0)B．(－12，0]C．(－12，＋∞)D．(0，＋∞)返回答案：A解析：根据题意得12log(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得x∈(－12，0)．返回解析：∵x有意义，∴x≥0.∴y＝x2＋3x－5＝(x＋32)2－94－5.∴当x＝0时，ymin＝－5.5．若x有意义，则函数y＝x2＋3x－5的值域是________．答案：[－5，＋∞)返回1．常见基本初等函数的定义域(1)分式函数中分母．(2)偶次根式函数被开方式.(3)一次函数、二次函数的定义域均为.(4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为.不等于零大于或等于0RR返回(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为．(6)y＝tanx的定义域为．(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．(0，＋∞){x|x≠kπ＋，k∈Z}π2返回2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为．R{y|y≥4ac－b24a}{y|y≤4ac－b24a}返回(3)y＝kx(k≠0)的值域是．(4)y＝ax(a0且a≠1)的值域是．(5)y＝logax(a0且a≠1)的值域是.(6)y＝sinx，y＝cosx的值域是．(7)y＝tanx的值域是.{y|y≠0}{y|y0}RR[－1,1]返回返回[做一题][例1](1)(2012·济南模拟)f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是________．(2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．返回[自主解答](1)要使函数式有意义，需满足1－x0，3x＋10解得－13x1.即定义域为(－13，1)．(2)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8.∴函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)(－13，1)(2)[－1,8]返回本例(2)中，若f(x)的定义域为[0,3]，试求f(x2－1)的定义域．解：由0≤x2－1≤3，得1≤x2≤4，解得1≤x≤2或－2≤x≤－1.即f(x2－1)的定义域为[－2，－1]∪[1,2]．返回[悟一法]求函数定义域的方法：(1)函数有解析式时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值构成的集合．(2)实际问题的函数定义域不仅要考虑解析式的意义，还要看其实际意义．(3)求复合函数的定义域：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．返回[通一类]1．函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为()A．[－4，－1)B．(－4,1)C．(－1,1)D．(－1,1]返回答案：C解析：由－x2－3x＋40x＋10得－1x1，因此该函数的定义域是(－1,1)．返回2．若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)返回答案：B解析：要使g(x)有意义，则0≤2x≤2x－1≠0，解得0≤x1.故定义域为[0,1)．返回[做一题][例2]求下列函数的值域：(1)y＝x－3x＋1；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝x＋4x.返回[自主解答](1)法一：(分离常数法)y＝x－3x＋1＝x＋1－4x＋1＝1－4x＋1.因为4x＋1≠0，所以1－4x＋1≠1.即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．返回法二：由y＝x－3x＋1得yx＋y＝x－3.解得x＝y＋31－y，所以y≠1.即函数值域是{y|y∈R，y≠1}．返回(2)法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12.故函数的值域是{y|y≤12}．法二：(单调性法)容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12，所以y≤f(12)＝12，即函数的值域是{y|y≤12}．返回(3)法一：当x0时，x＋4x≥2x×4x＝4，当且仅当x＝2时“=”成立；当x0时，x＋4x＝－(－x－4x)≤－4，当且仅当x＝－2时“=”成立．∴y∈(－∞，－4]∪[4，＋∞)．返回法二：f′(x)＝1－4x2＝x2－4x2x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)或x∈(0,2)时，f(x)单调递减．故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.∴所求函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．返回[悟一法]求函数值域的基本方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．返回(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．返回[通一类]3．求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋logx3－1.返回解：(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15.即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．返回(2)y＝x2－x＋1－1x2－x＋1＝1－1x2－x＋1∵x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43.∴－13≤y1.即值域为[－13，1)．返回(3)y＝log3x＋1log3x－1令log3x＝t，则y＝t＋1t－1(t≠0)，当x1时，t0，y≥2t·1t－1＝1，返回当且仅当t＝1t即log3x＝1，x＝3时，等号成立，当0x1时，t0，y＝－[(－t)＋(－1t)]－1≤－2－1＝－3.当且仅当－t＝－1t即log3x＝－1，x＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).返回[做一题][例3]已知函数f(x)＝ax2＋bx.若至少存在一个正实数b，使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的值．返回[自主解答]①若a＝0，则对于每个正数b，f(x)＝bx的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a＝0满足条件；②若a0，则对于正数b，f(x)＝ax2＋bx的定义域为D＝{x|ax2＋bx≥0}＝(－∞，－ba]∪[0，＋∞)，但f(x)的值域A⊆[0，＋∞)，故D≠A，即a0不符合条件；返回③若a0，则对于正数b，f(x)＝ax2＋bx的定义域D＝[0，－ba]，由于此时f(x)max＝f(－b2a)＝b2－a，故f(x)的值域为[0，b2－a]，则－ba＝b2－a⇒a0，2－a＝－a⇒a＝－4.综上所述：a的值为0或－4.返回[悟一法]已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．返回[通一类]4．若函数f(x)＝12x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b1)，求a、b的值．解：∵f(x)＝12(x－1)2＋a－12，∴其对称轴为x＝1.返回即[1，b]为f(x)的单调递增区间．∴f(x)min＝f(1)＝a－12＝1，①f(x)max＝f(b)＝12b2－b＋a＝b.②由①②解得a＝32，b＝3.返回返回[热点分析]函数的定义域和值域是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，考查已知函数解析式的函数的定义域和值域问题，题目主要较为简单，但具有一定的综合性，需要牢固掌握求定义域、值域的基本方法．返回[考题印证](2012·浙江五校联考)若函数f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1fx的值域是()A．[12，5]B．[56，5]C．[2，103]D．[3，103]返回[考题纠错]———————————(前人之鉴，后人之师)[错解]由12≤f(x)≤3得，13≤1fx≤2，所以56≤f(x)＋1fx≤5.即F(x)＝f(x)＋1fx的值域是[56，5]．返回[错因]f(x)与1fx的取值是相关的，f(x)最大时1fx最小，f(x)最小时1fx最大．[错解]中忽略了这一点．返回[正解]令t＝f(x)，则12≤t≤3.易知函数g(t)＝t＋1t在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．又∵g(12)＝52，g(1)＝2，g(3)＝103.可知函数F(x)＝f(x)＋1fx的值域为[2，103]．[答案]C返回1．函数ƒ(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)返回答案：C解析：由1－x≠01＋x＞0得x＞－1且x≠1，即函数ƒ(x)的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)．返回2．若函数f(x)＝1－x的定义域为A，函数g(x)＝lg(x－1)，x∈[2,11]的值域为B，则A∩B为()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．[0,1]D．[0,1)答案：C解析：由题意知，A＝{x|x≤1}，B＝{y|0≤y≤1}∴A∩B＝(－∞，1]∩[0,1]＝[0,1]．返回3．函数y＝2x－1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是()A．(－∞，0)∪(12，2]B．(－∞，2]C．(－∞，12)∪[2，＋∞)D．(0，＋∞)返回答案：A解析：∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，则x－1∈(－∞，0)∪[1,4)．∴2x－1∈(－∞，0)∪(12，2]．返回4．函数y＝lg4－xx－3的定义域是________．答案：{x|x4且x≠3}解析：由4－x0x≠3得x4且x≠3.返回5．若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是________．解析：∵1≤f(x)≤3，∴－6≤－2f(x＋3)≤－2.∴－5≤1－2f(x＋3)≤－1.即F(x)的值域为[－5,－1]．答案：[－5,－1]返回点击下图片进入