高中数学专题1.3.3函数的最大小值与导数试题新人教A版

1.3.3函数的最大（小）值与导数1．函数的最值与导数一般地，如果在区间[,]ab上函数()yfx的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数最值的步骤求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数()yfx在(,)ab内的________；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值(),()fafb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．K知识参考答案：1．连续不断2．极值K—重点利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用K—难点函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题K—易错求最值时，易忽略函数的定义域求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数()yfx在()ab，内的极值；（2）将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．已知函数2()e1xfxaxbx，其中,abR，e2.71828为自然对数的底数．设()gx是函数()fx的导函数，求函数()gx在区间[0,1]上的最小值．【答案】见解析．【解析】由2()e1xfxaxbx，有()()e2xgxfxaxb，所以()e2xgxa．因此，当[0,1]x时，()[12,e2]gxaa．当12a时，()0gx，所以()gx在区间[0,1]上单调递增．因此()gx在[0,1]上的最小值是(1)e2gab；当1e22a时，令()0gx，得ln(2)(0,1)xa．所以函数()gx在区间[0,ln(2)]a上单调递减，在区间(ln(2),1]a上单调递增．于是，()gx在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)gaaaab．综上所述，当12a时，()gx在[0,1]上的最小值是(0)1gb；当1e22a时，()gx在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)gaaaab；当e2a时，()gx在[0,1]上的最小值是(1)e2gab．【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个．函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．已知函数1()ln,fxaxaxR．（1）求函数()fx的单调递减区间；（2）当1[,1]2x时，()fx的最小值是0，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）2ln2a．【解析】（1）2211()aaxfxxxx，0x，当0a时，()0fx在(0,)上恒成立，则()fx的单调递减区间为(0,)；当0a时，令()0fx，得10xa，则()fx的单调递减区间为1(0,)a．当12a时，()fx在11[,]2a上单调递减，在1[,1]a上单调递增，则min11()()ln0fxfaaaa，解得ea，舍去．综上，得2ln2a．【名师点睛】本题中的参数a对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对a进行分类讨论．恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式()fxa在区间[]mn，上恒成立，可先在区间[]mn，上求出函数的最大值max()fx，只要max()xaf，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式()fxa在区间[]mn，上恒成立，可先在区间[]mn，上求出函数的最小值min()fx，只要min()xfa，则不等式()fxa恒成立．已知函数()exfxx．（1）求()fx的极小值；（2）对(0,),()xfxax恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）极小值为1；（2）(,e1)．【解析】（1）'()e1xfx，令'()0fx，得0x．当x变化时，'()fx与()fx的变化情况如下表：则()fx的极小值为(0)1f．（2）当0x时，e1xax恒成立．令e()1,0xgxxx，则2e(1)'()xxgxx，令'()0gx，得1x．当x变化时，'()gx与()gx的变化情况如下表：则min()(1)e1gxg，故实数a的取值范围是(,e1)．【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成()afx或()afx的形式，然后利用导数求出函数()fx的最值，则由max()afx或min()afx即可求出参数a的取值范围．因未验根而致误已知3223()fxaxbxax在1x时有极值0，求常数a，b的值．【错解】因为()fx在1x时有极值0且2()36fxxaxb，所以(1)0(1)0ff，即2360130ababa，解得13ab或29ab．【错因分析】解出a，b的值后，未验证1x两侧函数的单调性而导致产生增根．【正解】因为()fx在1x时有极值0，且2()36fxxaxb．所以(1)0(1)0ff，即2360130ababa，解得13ab或29ab．当1a，3b时，22()3630(1)3fxxxx，所以()fx在R上为增函数，无极值，故舍去．当2a，9b时，2312931(()()3)fxxxxx．当3()x，时，()fx为增函数；当3()1x，时，()fx为减函数；当1()x，时，()fx为增函数．所以()fx在1x时取得极小值，因此2a，9b．【名师点睛】可导函数在0xx处的导数为0是该函数在0xx处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由()0fx求出的参数需要检验，以免出错．1．定义在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)有唯一的极值点x＝x0，且y极小值＝f(x0)，则下列说法正确的是A．函数f(x)有最小值f(x0)B．函数f(x)有最小值，但不一定是f(x0)C．函数f(x)的最大值也可能是f(x0)D．函数f(x)不一定有最小值2．函数f(x)＝x3－3x(|x|1)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值3．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值，最小值分别是A．12，－8B．1，－8C．12，－15D．5，－164．已知f(x)＝12x2－cosx，x∈[－1，1]，则其导函数()f'x是A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数5．已知fxxxm()2632（m为常数）在区间[]22，上有最大值3，那么此函数在[]22，上的最小值为A．5B．11C．29D．376．函数()exfxx在]1,1[上的最小值是______________．7．函数2()(1)fxxx在[0，1]上的最大值为______________．8．函数52)(24xxxf在]2,1[上的最小值为______________．9．已知函数2()lnfxaxbx，,abR．若()fx的图象在1x处与直线12y相切．（1）求ba,的值；（2）求()fx在1[,e]e上的最大值．10．函数.)(223mxaaxxxf（1）若函数)(xf在]1,1[x内没有极值点，求实数a的取值范围；（2）若对任意的]6,3[a，不等式1)(xf在]2,2[x上恒成立，求实数m的取值范围．11．已知函数3()31fxxx，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是A．20B．18C．3D．012．若函数323()12fxxx，则A．最大值为1，最小值为12B．最大值为1，无最小值C．最小值为12，无最大值D．既无最大值也无最小值13．函数32231(0)()e(0)axxxxfxx在[2,2]上的最大值为2，则a的取值范围是A．1[ln2,)2B．1[0,ln2]2C．(,0)D．1(,ln2]214．已知32()6fkxxx在[1，5]上有最小值为0，则函数()fx在[1，5]上的最大值为______________．15．函数lnxyx的最大值为______________．16．已知2()(1),()exfxxmgxx，若12,xxR，使得12()()fxgx成立，则实数m的取值范围是______________．17．已知函数()ln(,0)fxaxaxxR．（1）当2a时，求函数()fx的单调区间；（2）当0a时，求函数()fx在[1,2]上的最小值．18．（2017新课标全国III理）已知函数211()2(ee)xxfxxxa有唯一零点，则aA．12B．13C．12D．119．（2017新课标全国III节选）已知函数2ln)1(()2xaxfxax，当a﹤0时，证明3()24fxa．20．（2017新课标全国I）已知函数2ee()()xxfxaax．（1）讨论()fx的单调性；（2）若()0fx，求a的取值范围．21．（2017北京）已知函数()ecosxfxxx．（1）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（2）求函数()fx在区间π[0,]2上的最大值和最小值．22．（2017新课标全国II理）已知函数2()lnfaxaxxxx，且()0fx．（1）求a；（2）证明：()fx存在唯一的极大值点0x，且220e()2fx．1．【答案】A【解析】函数f(x)在闭区间[a，b]上一定存在最大值和最小值，又f(x)有唯一的极小值f(x0)，则f(x0)一定是最小值．故选A．3．【答案】A【解析】y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．当x＝－2时，y＝1；当x＝－1时，y＝12；当x＝1时，y＝－8．∴ymax＝12，ymin＝－8．故选A．4．【答案】D【解析】求导可得f′(x)＝x＋sinx，显然f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sinx，求导得h′(x)＝1＋cosx，当x∈[－1，1]时，h′(x)0，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D．5．【答案】D【解析】令2()6126(2)0fxxxxx，得0x或2x=，当20x时，()0f'x，当02x时，()0f'x，所以最大值在0x处取得，即(30)fm，又()37(2)52,ff，所以最小值为37．故选D．6．【答案】1【解析】()e1xfx，()00,()00fxxfxx，所以()fx在[1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，从而函数()exfxx在]1,1[上的最小值是0(0)e01f．7．【答案】239【解析】由题知3()xxfx，则2()31xf'x，可得在区间3[0,)3上，()0f'x，()fx为增函数，在3(,1]3上，()0f'x，()fx为减函数，故()fx在33x处取得最大值239．8．【答案】6【解析】4232()25,()444(1)fxxxfxxxxx，令()0fx，得1x