安振平竞赛不等式讲座

1特级教师安振平高中数学竞赛不等式讲座特级教师安振平高中数学竞赛不等式讲座特级教师安振平高中数学竞赛不等式讲座特级教师安振平高中数学竞赛不等式讲座712000咸阳师范学院基础教育课程研究中心咸阳师范学院基础教育课程研究中心咸阳师范学院基础教育课程研究中心咸阳师范学院基础教育课程研究中心
基础知识基础知识基础知识基础知识不等式概念不等式概念不等式概念不等式概念条件不等式，绝对不等式，矛盾不等式；同向不等式，异向不等式；分式不等式，无理不等式，绝对值不等式，数列不等式，三角形不等式，几何不等式，代数不等式.不等式的性质不等式的性质不等式的性质不等式的性质反身性：ab等价于ba；传递性：ab,bc,推出ac；伸缩性：由ab,c0，得acbc；由ab,c0，得acbc.平移性：ab,推出a+cb+c.叠加性：叠乘性：乘方性：开方性：不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法不等式证明的基本方法比较法（做差、做商）分析法综合法（函数）导数法数学归纳法重要不等式法不等式的证明的基本技巧不等式的证明的基本技巧不等式的证明的基本技巧不等式的证明的基本技巧换元法构造法（函数、图形）放缩法重要不等式重要不等式重要不等式重要不等式均值不等式著名的算术————几何平均值不等式如下：若12,,,naaa⋅⋅⋅为正数，那么1212nnnaaaaaan++⋅⋅⋅+≥⋅⋅⋅．式中的等号，当且仅当12naaa==⋅⋅⋅=时成立．研究2元、3元、4元、5元的证明、变形和应用。柯西不等式设12,,,naaa⋅⋅⋅与12,,,nbbb⋅⋅⋅是两组实数，则有2()()()222222211221212.nnnnabababaaabbb++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+当向量()12,,,naaa⋅⋅⋅与向量()12,,,nbbb⋅⋅⋅共线时，等号成立.应用柯西不等式证明不等式，其关键是依照等号成立的条件，巧妙的变形出应用的前提条件，分拆项或者配凑因子，需要一定的解题机智和数学智慧.推论推论推论推论：：：：权方和不等式。()222212121212nnnnaaaaaabbbbbb++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+（,1,2,,kbRkn+∈=⋅⋅⋅），
例题选讲例题选讲例题选讲例题选讲例例例例1：：：：若(),1,0,∈ba则abbabbaa-+≥-+-11122证明证明证明证明：：：：()()()2222221111babaabbabbaa++--+=-+-()().121122abbabaababba-+=+--+≥类似：若),1,0(,∈ba则（1）abbaabba-+≥-+-11122（2）baabbbaa+-≥-+-141122例例例例2：：：：设ABC△的三边长为,,abc，面积为Δ，则{}4444442min,,8abbcca+++≥Δ．证明证明证明证明：：：：不妨设abc≥≥，则由２元均值不等式和正弦函数的有界性，得{}44444444min,,abbccabc+++≥+2222128sin82bcbcA≥≥=Δ．例例例例3：：：：若,xyR∈时，求证：221(,)()()2.fxyxyyx=++-≥证明证明证明证明1：利用2221()2abab+≥+，得3221(,)()()fxyxyyx=++-()222211211211122.xyyxxxxx≥++-=+=++≥易知，当1,xyyx+=-221xx=，即1,0xy=±=时，min2.f=证明证明证明证明2：利用222abab+≥，得()()22111,4xyxxyxxx+++≥++2211111,4yxyxxxxx-++≥-+将这两式相加，可得222111()()2.2xyyxxx++-≥+≥证明证明证明证明3：利用222abab+≥，得()2211()()2,xyyxyyxx++-≥+-于是()()()222211122xyyxyyxyyxxx++-≥++-++-()22114,xyyxxx=++-=+≥即有221(,)()()2.fxyxyyx=++-≥类比类比类比类比：：：：,xyR∈时，函数1(,)fxyxyyx=++-的最小值是__________.例例例例4：：：：设()0,,0abcλλ≤≤，求证：42222abcbccaabλλλλ++≤+++．证明证明证明证明：：：：我们先证22aabcabcλλ≤⋅+++，这个不等式等价于()222abcbcλλ++≤+，也就是()()2bcbcaλλλλ--++≥．（＊）注意到条件关系()0,,0abcλλ≤≤，显然，上面的不等式（＊）成立．于是，有不等式22aabcabcλλ≤⋅+++，同理，有22bbcaabcλλ≤⋅+++，22ccababcλλ≤⋅+++．将这３个不等式相加，即知所要证的不等式成立．例例例例5（（（（1986年上海高考题）设0,0ab，证明不等式：()()11223323abab++．为了证明这个不等式，我们可以着眼于将“开方”变化为“乘方”，利用分析的办法，其本质是：要证什么，只要证什么就行了．证明证明证明证明１１１１（分析法）所证的不等式等价于()()322233abab++．（＊）也就是6642246633332ababababab+++++，等价于422433332,ababab+也就是22222()()2ababab+++，（＊＊）注意到22222()0,2ababab++≥，这说明不等式（＊＊）显然成立．故原不等式得证．比较法是证明不等式的基本方法，其实质是：要证xy，只要证明0xy-就行了．请看作差证法．证明证明证明证明２２２２（作差法）对不等式（＊）作差，得5()()322233664224663322222(33)(2)2[()()]0,abababababababababab+-+=+++-++=++-于是，不等式（＊），也就是所要证明的不等式成立．不等式证明的关键是，恰当的放大，或者缩小，这需要代数的推理，合理的思维，和解题的机智．证明证明证明证明３３３３（放大法）注意到11322222222()(),aaaaaaab==+即132222(),aaab+132222(),bbab+将这两个同向不等式叠加，得()333222abab++，变形，得()()11223323abab++．从以上的放大证法中受到启示，如果改为缩小的办法，就有：证明证明证明证明4（缩小法）注意到()()()3122222222ababab+=+⋅+()()()()11222222221122222233,aabbabaabbab=⋅++⋅+⋅+⋅=+即()322332abab++，从而，有()()11223323abab++．从原不等式出发，我们似乎可以看到一个函数()1()xxxfxab=+，只要研究该函数的单调性就可以了．证明证明证明证明5（导数法）构造函数()1xxxyab=+，其中，,0,0abx．两边取对数，得()lnlnxxabyx+=，两边同时求导数，有6()()()()'2lnlnln.xxxxxxxxxaabbababyyxab+-++=+因为()()()1xxxxxxababxxxxxxxxabxxababababab+⋅=+++，所以()()()xxxxababxxxxabab+⋅+，两边取对数，得()()()lnlnlnxxxxxxxaabbabab+++，于是'0y．这说明函数()1()xxxfxab=+在()0,+∞上是递减函数，从而有(2)(3)ff，即知()()11223323abab++．要知道，我们并不只是为了探索上述高考题的多种解答途径，而是想从中有所启示，有所比较，有所获得．要晓得，简单化是解题转化的基本思维方式，想想看：“乘方”的目的是什么？是为了消除“开方”，是为了“化无理为有理”，难道不是吗？不过，开方的次数过高的话，采用乘方的运算就大了，也就不利于问题的推广．不等式证明的本质就在于适度的“放缩”，而抓住了这一点，就形成了证明3和证明4．当中，仍然有局部的乘方技巧．该证法是比较巧妙的，但似乎难于想到．对于构造函数法，自然更具有一般性，当中的构造意味着什么呢？是思维的能力，是超越知识以外的东西，这就是数学的素质，这就是解题的智慧．有了以上的分析，就能用其中的一些证法推广上述题目．先考虑字母个数方面的推广，可得推广推广推广推广１１１１设0,0,0abc，证明不等式：()()1122233323abcabc++++．再考虑字母次数方面的推广，可得推广推广推广推广２２２２设0,0ab，正整数,mn满足mn，证明不等式：()()11mmnnmnabab++．接下来，综合以上两个方面的推广，可得推广推广推广推广３３３３设0,0,0abc，正整数,mn满足nm，证明不等式：()()11mmmnnnmnabcabc++++．最后，如果利用上面的构造函数证法，就可得出更具一般性的推广．7推广推广推广推广４４４４设0(1,2,,,2)ixikk=⋅⋅⋅≥，正实数,mn满足mn，证明不等式：1111kkmnmniiiixx==∑∑．至于上述推广的证明，留给读者去完成．数学解题能力的提升，需要在观察、比较、变化、调整、选择的过程里去感悟，去体验，去反思，只有自己亲临解题活动的锻炼，才能逐渐形成分析问题和解决问题时的解题机智与解题智慧．例例例例6：：：：若,ab为正数，且满足441ab+=，求证：223abab+≥+．证明证明证明证明：：：：所要证的不等式等价于()()3222abab+≥+，也就是()()()222222ababab+≥++，等价于()()2244222222ababababab++≥+++，等价于()222222ababab≥+，也就是331abab+≤．这个不等式可以用４元均值不等式来证之．事实上33ababaaababbb+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅()()444444444411441.aaababbbab≤+++++++=+=从而，所要证的不等式得证．说明说明说明说明：：：：要证明无理不等式，只要证明一个与其等价的有理不等式就可以了．化无理为有理，这是经常用的技巧．例例例例7：（：（：（：（第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试的第3题）设直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，斜边上的高为h，则ab+和ch+的大小关系是（）A．abch++B．abch++C．abch+=+D．不能确定该竞赛试题是一道十分有意思的问题，笔者通过多角度的思考与探索，发现了它的不同解答方法，并给出了一些有趣的推广．［［［［解答解答解答解答］］］］比较两个数或式的大小，通用的方法是作差法，即就是：0abab⇔-，，，，0abab⇔-．．．．也可以用作商法，即就是：对于0,0ab，有1,1.aaababbb⇔⇔8思考思考思考思考１１１１如果从“直角三角形”想到勾股定理，那么有222abc+=．于是，就想到了“平方”技巧，只要比较2()ab+和2()ch+的大小就行了．证明证明证明证明１１１１由面积关系，我们显然知道abch=，从而有22()()abch+-+2222()2()abcabchh=+-+--20h=-，所以abch++．思考思考思考思考２２２２改证明１为作商法，我们可以得到证明证明证明证明２２２２注意到222abc+=，abch=，得()()22222222222122abababcchcchhcchhch++++==+++++，，，，所以abch++．思考思考思考思考３３３３在上面的解答里用了“平方”技巧，现在