【高考数学一本通】2014届高中数学(理)一轮复习(课前热身)课件：第4章 第31讲 正、余弦定理及

1.在△ABC中，已知b=4，c=2，∠A=120°，则a等于_______2212222cos148122432()284221.abcbcAa由余弦定理得，所以解析：2.在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°，则b等于________46607545.8sin604546BCAbasinBsinAbsin由，，得由正弦定理得解，即析：3.sinAcosBcosCABCabc若，则的形状为V32324.ABCbcA已知的面积为，且，，则V等腰直角三角形1sin23123sin223sin60120.2ABCSbcAAAAV因为，所以，所以，所以或解析：60°或120°5.在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD(如图)，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得CD所张的角为45°，则该电视塔的高度是______m.1501tantan211302tan(45)316012150mBACBADCDBACCD因为，，所以解析：．三角形解的个数的判定【例1】在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝44°，则此三角形解的情况为________．sinsin44sin4522412218242sinbAbbbAab因为＝＝＝，所以，所以此三角形【解析】有两解．已知两边a、b和其中一边a的对角A(A为锐角)，解三角形的解的情况：absinAa＝bsinAbsinAaba≥b无解一解两解一解【变式练习1】在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若△ABC有两解，则x的取值范围是_______________2(2,22)2ABCBCCACDxbxx如图，若有两解，则，即，解得【解析】．(2,22)判断三角形的形状【例2】已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．若a＝ccosB，且b＝csinA，试判断△ABC的形状．222222290.RtsinacbacacabcCaaABCAbcaccABC由余弦定理得＝，整理得＋＝，所以＝在中，＝，所以＝＝，所以是等腰直角【解析】三角形．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形．要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．【变式练习2】在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，请判断△ABC的形状．22222222sin()sin()sincossincossinsincossinsin2sin2cossin2222.2abABabABaABAbABBBAABABABABABABABC【解依题意得＝，则＝＝，即＝，所以＝，则有＝或＋＝，即＝或＋＝所以为等腰三角形或直角析】三角形．正弦定理、余弦定理、面积公式的灵活应用3sincos2.1sin233ABCACAAAABCSBC在中，已知＝，＋＝求的值；若的面积＝，求【例】的值．2221sincos2sin()24sin()1.450444.4241322sin322.242cos298232255.2AAAAAAAASACABAABABBCACABACABABC由＋＝＋＝，得＋＝由此及，即＋，得＋，故＝由＝＝＝，得＝由此及余弦定理得＝＋－＝＋－＝，故【】＝解析本题将三角恒等变换、求值与解三角形综合一起考查，这是近几年高考的一种命题趋势，注意综合运用．应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的．在解三角形中，利用正、余弦定理进行边角转化是解题的基本方法．在三角函数的化简、求值中，常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用．53sin2sin.12sin(201)3()312ABCABCabcabCAcA在中，角、、的所对边的长分别为、、盐城二模，且，，求的【变式练习．】值；求卷的值V2221225.252cos255sin1254sin22sincos5casinCsinAsinCcaasinAcbaAbcAcosAAAA根据正弦定理，，所以根据余弦定理，解得，于是，从而析：，223cos2cossin5sin(2)sin2coscos2sin333433.10AAAAAA，所以测量距离问题【例1】如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．222222150030060.2cos601500(300)2500(300)24900445()11445rCDDACDOCDOCDODCDODOCrrrrOA方法：设该扇形的半径为米．由题意，得＝米，＝米，＝在中，＋－＝，即＋－－－＝，解得＝米．答：该扇形的半径的长约为米．【解析】V2222222.500300120.2cos120150030025003007002700()ACOHACACHCDADCDAACDACCDADCDADAC方法：连结，作，交于由题意，得＝米，＝米，＝在中，＝＋－＝＋＋＝，所以＝米．V22211cos.21411350cos144900445()cos11445ACADCDCADACADRtHAOAHHAOAHOAHAOOA则＝＝在中，＝米，＝，所以＝＝米．答：扇形的半径的长约为米．三角学源于测量实践，解三角形是三角实际应用的一个重要方面．求距离问题一般要注意：(1)选定或创建的三角形要确定；(2)利用正弦定理还是余弦定理要确定．112230210520201201024ABAB如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处【，此时两船相距海变式练习】里．当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里．问乙船每小时航行多少海里？1211221222112211212122212111211122212.2020102302102.60601056045.2cos45220(102)2201022200102.ABABABAABAAAABBABABBBBABABABABBB连结依题意知＝，＝，＝＝易知＝，所以是等边三角形，则＝－＝在中，由余弦定理得＝＋－，＝＋－＝，所以＝因此，乙【解析】船的速度10260302(/)20302/为＝海里小时．答：乙船每小时航行海里小时．1.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______________(3sinsin)cossinsin3sincossin.3sin0cos.3BCAACBABBA【解析】由题设，结合正弦定理得－＝，即＝因为，所以＝3360132sinsinsin.ABCAbabcABCV在中，＝，＝，其面积为，则等于239322211sin60324.2cos116214cos6013239.sin3sinsinsin239.sinsinsinsin3ABCSccabcbcAaAabcABCaabcAABC因为＝＝，所以＝所以＝＋－＝＋－＝，所以＝由正弦定理得，所以＝【解析】3.甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米．甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_______分钟．150722222(104)62(104)6cos1202820100.5150147CDxCDxxxxxxxCD如图，设甲船行至点，乙船行至点时甲、乙两船相距最近，它们所航行的时间是小时．则＝－＋－【－＝－＋所以，当＝小时＝分解钟时，取析】最小值．4.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b的值．222222cos.202cos2.sincos3cossinsincoscossin4cossinsin()4cossinsin4sincos.sinsin4cos.4.acbbcAacbbbcAACACACACACACACBCAbBCcbcAb由余弦定理得－＝－又－＝，，所以＝＋①又＝，即＋＝，即＋＝，即＝由正弦定理得＝，故＝②由①】②解得析＝【解5.(2012·兴化期中卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m=(a，btanA)，n=(b，atanB)．(1)若m∥n，试判断△ABC的形状；(2)若m⊥n，且a=2，b=，求△ABC的面积．2322221tantancossinsincossincossincossin2sin2(0)022222mnaBbAaABbABAABBABABABABABABABABC由，知，即，由正弦定理得：，即，而，，，解析：，所以，或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形．PV2tantan0tantan1.coscossinsin0cos0.(0)232.22mnababABABABABABABabABABABCsinB由，知，即所以，，即而，，，，，所以，在中，由正弦定理得：V23232323tan(0)362236111sin2323.222sinAcosBsinBBBBABCSabC所以，由，，知，所以，，所以112sin2sin2sinsinsinsin222sinsinsin.aRAbRBcRCabcABCRRRabcABC．正弦定理变形公式：①化边为角：＝，＝，＝；②化角为边：＝，＝，＝；③∶∶＝∶∶(2)基本题型：①已知一边和两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解．②已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角．在已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解．21()222()2222sin()sincos()costan()tansincoscossin2222tantantantantantanABCABCCABCABCABABCABCABCABCABCABCABCABCABC．三角形内角和定理：在中，＋＋＝＝－＋＝－＋．三角形中的基本关系：①在中：＋＝，＋＝－，＋＝－；②＝，＝，＋＋＝；③在中，VVVcoscos3sinsinbaCcAABCABAB＝＋，在中，，V3．余弦定理(1)基本题型：①已知三边，解三角形：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解．②已知两边及夹角，解三角形：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，有一解．(2)余弦定理是勾股定理的推广：判断Ca2＋b2c2，C