中考总复习第四讲因式分解

沂河源学校九年级数学1中考数学复习第四讲：因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。2、因式分解与整式乘法是运算。【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为的形式。】二、因式分解常用方法：1、提公因式法：公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=。【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是，都遵循一个原则：取系数的，相同字母的。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要。】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2=,②完全平方公式：a2±2ab+b2=。【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面a与b。如：x2-12x+14即是完全平方公式形式而x2-x+12就不符合该公式。】一、公式分解的一般步骤1、一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先2、二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用法来分解。3、三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2bxaxabxbax方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．二、典型例题例5、分解因式：652xx分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】考点一：因式分解的概念例1下面的多项式中，能因式分解的是（）A．m2+nB．m2-m+1C．m2-nD．m2-2m+1对应训练1.多项式x2－y2,x2－2xy＋y2,x3－y3的公因式是。2.多项式a2＋4ab＋2b2,a2－4ab＋16b2,a2＋a＋14,9a2－12ab＋4b2中，能用完全平方公式分解因式的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3.下列多项式能分解因式的是（）A．x2+y2B．-x2-y2C．-x2+2xy-y2D．x2-xy+y24.下列因式分解中，正确的个数为（）①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y）A．3个B．2个C．1个D．0个5.下列式子从左到右变形是因式分解的是（）A．a2+4a﹣21=a（a+4）﹣21B．a2+4a﹣21=（a﹣3）（a+7）C．（a﹣3）（a+7）=a2+4a﹣21D．a2+4a﹣21=（a+2）2﹣256.下列因式分解中，正确的是（(A)1-14x2=14(x+2)(x-2)(B)4x–2x2–2=-2(x-1)2(C)(x-y)3–(y-x)=(x–y)(x–y+1)(x–y–1)(D)x2–y2–x+y=(x+y)(x–y–1)7.若x2＋mx＋n能分解成(x+2)(x–5)，则m=,n=;8.若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是;考点二：因式分解例21.分解因式：3a2b+6ab2=．2.分解因式：2422aa．3.分解因式：3m3-18m2n+27mn2=．4.分解因式．5.分解因式.6分解因式﹣2x2y+16xy﹣32y=．练习：1把a2－a－6分解因式，正确的是()(A)a(a－1)－6(B)(a－2)(a＋3)(C)(a＋2)(a－3)(D)(a－1)(a＋6)2．把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（）A．a（a-4）B．（a+2）（a-2）C．a（a+2）（a-2）D．（a-2）2-4269xx)2(22xxx沂河源学校九年级数学23．a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（）A．a2b（a2-6a+9）B．a2b（a-3）（a+3）C．b（a2-3）2D．a2b（a-3）24.若x2－mx＋n＝(x－4)(x＋3)则m,n的值为（）(A)m＝－1,n＝－12(B)m＝－1,n＝12(C)m＝1,n＝－12(D)m＝1,n＝12.5.代数式y2＋my＋254是一个完全平方式，则m的值是。6.关于的二次三项式x2－4x＋c能分解成两个整系数的一次的积式，那么c可取下面四个值中的（）(A)－8(B)－7(C)－6(D)－5考点三：因式分解的应用例4设(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,则x＋y的值是（）(A)-5或3(B)-3或5(C)3(D)5对应训练1.若a=2，a+b=3，则a2+ab=．2.已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．3.若m2－n2＝6且m－n＝3，则m＋n＝________.4.对于任意自然数n，(n＋11)2－n2是否能被11整除，为什么？5.2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910【聚焦福州中考】1．下列式子变形是因式分解的是（）A．x2-5x+6=x（x-5）+6B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）2．已知𝑎2−𝑎−1=0，则𝑎3−𝑎2−𝑎+2016=______．3.多项式−2𝑥2−12𝑥𝑦2+8𝑥𝑦3的公因式是______．4.把𝑥𝑛+3+𝑥𝑛+1分解因式得()A.𝑥𝑛+1(𝑥2+1)B.𝑥𝑛(𝑥3+𝑥)C.𝑥(𝑥𝑛+2+𝑥𝑛)D.𝑥𝑛+1(𝑥2+𝑥)5.20042−2003×2005的计算结果是()A.1B.−1C.2D.−26.将代数式𝑥2+4𝑥−1化成(𝑥+𝑝)2+𝑞的形式()A.(𝑥−2)2+3B.(𝑥+2)2−4C.(𝑥+2)2−5D.(𝑥+2)2+47.下列因式分解正确的是()A.𝑥2−4=(𝑥+4)(𝑥−4)B.𝑥2+2𝑥+1=𝑥(𝑥+2)+1C.3𝑚𝑥−6𝑚𝑦=3𝑚(𝑥−6𝑦)D.2𝑥+4=2(𝑥+2)8.分解因式：x3-4x2-12x=．9.分解因式：3x2y+12xy2+12y3=．10.把下列各式分解因式(1)232aaa(2)2222(1)4(1)4aaaa(3)2216()9()abab(4)223.592.54(5)2𝑚(𝑚−)2−8𝑚2(−𝑚)11简便计算：1.992+1.99×0.0112.已知：2211128,22xyxxyy，求代数式的值。13.32232132abab已知，，求ab+2ab+ab的值。14.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。15.已知a、b、c是的三边的长，且满足𝑎2+22+2−2(𝑎+)=0，试判断此三角形的形状．16.下面是某同学对多项式(𝑥2−4𝑥+2)(𝑥2−4𝑥+6)+4进行因式分解的过程．解：设𝑥2−4𝑥=𝑦原式=(𝑦+2)(𝑦+6)+4(第一步)=𝑦2+8𝑦+16(第二步)=(𝑦+4)2(第三步)=(𝑥2−4𝑥+4)2(第四步)回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．A、提取公因式.平方差公式C、两数和的完全平方公式.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底______.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______．(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(𝑥2−2𝑥)(𝑥2−2𝑥+2)+1进行因式分解．