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27．1圆的认识第27章圆27．1.3圆周角知识点❶：直径(或半圆)与所对圆周角的关系1．(2016·张家界)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是()A．75°B．60°C．45°D．30°D2．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是()B知识点❷：圆周角定理及其推论3．(2016·巴中)如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝()A．35°B．55°C．25°D．60°A4．(习题6变式)如图，在⊙O中，AB，AC是两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，若∠ADB＝30°，则∠BOC的度数是()A．60°B．120°C．130°D．150°B5．如图，AB是半圆的直径，D是AC︵的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于()A．55°B．60°C．65°D．70°C6．(2016·青岛)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠BCD＝28°，则∠ABD＝____°.627．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是____．2558．(2016·自贡)如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，则∠B的度数是()A．15°B．25°C．30°D．75°C9．(2016·滨州)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED.其中一定成立的是()A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤D10．如图，AB是⊙O的直径，C，D，E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2＝_______．90°11．如图，OA＝OB＝OC，且∠ACB＝30°，则∠AOB的大小是_______．60°12．如图，在⊙O中，直径AB＝10cm，AC＝8cm，CD平分∠BCA，求BC和DB的长．解：BC＝6cm，BD＝52cm13．如图，点A，B，C为圆上的三个点，且△ABC为等边三角形，P为BC︵上一点．求证：PA＝PB＋PC.解：如图，在PA上截取PD＝PB，连结BD.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，∴∠BPA＝∠ACB＝60°，∠APC＝∠ABC＝60°，∴∠BPC＝120°，∵PD＝PB，∠BPA＝60°，∴△PBD是等边三角形，∴∠BDP＝60°，PD＝PB，∴∠BDA＝120°，又∵∠BAP＝∠BCP，∴△ABD≌△CBP(AAS)，∴AD＝CP，∴PA＝PD＋AD＝PB＋PC14．(2016·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°，∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°(2)∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE，而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD，∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD，∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，∴∠1＝∠215．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E，AB＝CD.(1)求证：AC＝BD.(2)若F是⊙O上一点，且CF︵＝AD︵，AF的延长线与DB的延长线交于点P，求证：ED2＝EB·EP.解：(1)∵AB＝CD，AD＝AD，∴∠DAC＝∠ADB，∠DCA＝∠ABD，∴△ADC≌△DAB(AAS)，∴AC＝BD(2)∵CF︵＝AD︵，∴∠CAF＝∠DBA.∵∠AEB＝∠PEA，∴△AEB∽△PEA，∴EA2＝EB·EP，∵∠DAC＝∠ADB，∴EA＝ED，∴ED2＝EB·EP方法技能：在同圆或等圆中，弧、弦、圆周角、圆心角、弦心距都具有对等关系，在有关计算、论证中可直接互推．易错提示：等弧隐含同圆或等圆，由弦、圆周角、圆心角推对等关系，必须在同圆或等圆中．