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高中数学第1页共7页立体几何综合训练1、证明平行垂直1．如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC．2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．高中数学第2页共7页3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知．M是PD的中点．（Ⅰ）证明PB∥平面MAC（Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD（Ⅲ）求四棱锥p﹣ABCD的体积．高中数学第3页共7页2、求体积问题5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．（Ⅰ）求证：AB∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．6．（2011•辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=PD．（Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ；（Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．高中数学第4页共7页7．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．高中数学第5页共7页3、三视图9．已知某几何体的直观图与它的三视图，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A1C1上的中点．（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）求证：直线BC1∥平面AB1D；（Ⅲ）求证：直线B1D⊥平面AA1D．10．（2010•广东模拟）已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形．E是侧棱PC上的动点．（1）求证：BD⊥AE；（2）若E是PC的中点，且五点A，B，C，D，E在同一球面上，求该球的表面积．高中数学第6页共7页11．（2010•深圳二模）一个三棱柱ABC﹣A1B1C1直观图和三视图如图所示（主视图、俯视图都是矩形，左视图是直角三角形），设E、F分别为AA1和B1C1的中点．（Ⅰ）求几何体ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）证明：A1F∥平面EBC1；（Ⅲ）证明：平面EBC⊥平面EB1C1．4、折叠问题12．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A﹣BCF，其中．（1）证明：DE∥平面BCF；（2）证明：CF⊥平面ABF；（3）当时，求三棱锥F﹣DEG的体积VF﹣DEG．高中数学第7页共7页5、动点问题13．（2011•北京）如图，在四面体PABC中，PC求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．