自动控制原理第九章课件

9-1线性系统的状态空间描述9-2线性系统的可控性和可观测性9-3李雅普诺夫稳定性分析第九章线性系统的状态空间分析与综合现代控制理论以状态空间为基础，解决多输入—多输出、参变量、非线性、高精度、高性能等控制系统的分析和设计问题。最优控制、最佳滤波、系统辩识、自适应控制等都是这一领域的课题。在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间分析方法描述输入－状态—输出诸变量之间的因果关系，不但反映了系统输入—输出的外部特性，而且揭示了系统内部的结构特征，是一种既适用于单输入—单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和设计。一、系统数学描述的两种基本类型我们研究的系统假定具有若干输入端和输出端如图示。系统的外部变量：输入向量输出向量系统的内部变量：系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。系统的数学描述通常有两种基本形式。9-1线性系统的状态空间描述Tpuuu,,,u21Tqyyy,,,y21Tnxxx,,,x211.系统的外部描述其外部数学描述是：n阶微分方程及对应的传递函数。微分方程：传递函数：2.系统的内部描述系统的内部描述即状态空间描述，通常有两个数学方程组成。ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(01110111)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnn]),(),([)(ttutxftx]),(),([)(ttutxgty二、状态空间描述的几个基本概念1．状态所谓状态，是指系统过去、现在和将来的状况，是系统信息的集合。2．状态变量状态变量是指能确定系统运动状态的最少数目的一组变量。3．状态向量将状态变量视作向量的分量，即称为状态向量4．状态空间以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。)(,),(),(21txtxtxn)(xtTnxxx,,,x21)(xt)(,),(),(21txtxtxn5．状态方程由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。6．输出方程在指定系统输出的情况下，输出与状态变量间的函数关系式。7．状态空间表达式(动态方程)状态方程与输出方程的组合，又称为动态方程。线性连续系统的状态空间表达式的一般形式为：)(u)()(x)()(y)(u)()(x)()(xttDttCtttBttAt为n维向量，为p维向量，为q维向量，A为n×n矩阵，B为n×p矩阵，C为q×n矩阵，D为q×p矩阵。由于A，B，C，D矩阵完整地表征了系统的动态特性，因此有时把一个确定的系统简称为（A，B，C，D）。)(u)()(x)()(y)(u)()(x)()(xttDttCtttBttAtxuy三、线性定常连续系统状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的方法主要有两种：一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程，然后选择有关的物理量作为状态变量，从而导出状态空间表达式；二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态空间表达式。1．根据系统机理建立状态空间表达式以i(t)作为中间变量，列写该回路的微分方程idtCuuudtdiLRicc1(1)设状态变量则状态方程为：输出方程为：写成矩阵—向量的形式为：简记为：idtCuuudtdiLRicc1,1ixcux212211111xCxuLxLxLRx2xyuLxxCLLRxx0101121212110xxy)(x)(y)(u)(x)(xtCttbtAt(2)设状态变量，写成矩阵—向量的形式为：idtCuuudtdiLRicc1ix1idtx21221111xxuLxLCxLRx21xCyuLxxLCLRxx0101121212110xxCy2．由系统微分方程建立状态空间表达式系统的时域数学模型为输入—输出之间的高阶微分方程，其一般形式为：系统的时域数学模型为状态空间表达式，其形式为：如何由系统的高阶微分方程建立(转化为)系统的状态空间表达式，关键问题是选择系统的状态变量。(1)系统输入量中不含导数项选取n个状态变量：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)()(u)(x)(y)(u)(x)(xtDtCttBtAtuyayayayaynnnnn001)2(2)1(1)()1(21,,,nnyxyxyx状态方程：输出方程：其向量矩阵形式为：uxaxaxaxxxxxxxnnnnn012110132211xyxxxCyBuAnnxxxx121x1210100001000010naaaaA0000b001C例设系统方程为求状态空间表达式。解设系统的状态方程为输出方程为其向量矩阵形式为：uyyyy65116yx1yx2yx3uxxxxxxxx66115321332211xy3213213210016006115100010xxxyuxxxxxx(2)系统输入量中含有导数项系统的微分方程为：选择下列n个状态变量：ububububyayayaynnnnnnn01)1(1)(01)1(1)(uhxuhuhuhyxuhxuhuhuhyxuhxuhuhyxuhyxnnnnnnn111)2(1)1(0)1(2221031110201原则：使状态方程不含u的导数。系统的的状态方程为输出方程为uhxaxaxaxaxuhxxuhxxuhxxnnnnnnnnn112211011232121uhxy01uhhhxxxaaaaxxxnnnn2121121021100001000010uhxxxyn0210013．由系统传递函数建立状态空间表达式设系统的传递函数为应用综合除法有(1)串联分解的情况01110111)()()(asasasbsbsbsbsusysGnnnnnnn)()()(0111012211sDsNbasasassssbsGnnnnnnnnn)()(sDsN系统的状态方程为输出方程为其对应的微分方程为：选择一组状态变量为：0111...1)()(asasassusznnn012211...)()(sssszsynnnnuzazazaznnn01)1(1)(zzzzynnnn01)2(2)1(1)1(21,,,nnzxzxzxuxaxaxaxxxxxxxnnnnn1211013221nnxxxy12110动态方程写成向量—矩阵形式为：A和B具有以上形状时，A阵称为友矩阵，相应的动态方程称为可控标准型。uxxxxaaaaxxxnnn100010000001000010321121021nnxxxxy321110当时，A，B，C均不变，若我们选择另一组状态变量时，会得到系统的请注意A，C矩阵的形状特征，对应的动态方程称为可观测标准型。可控标准型与可观测标准型之间存在对偶关系：)()()(sDsNbsGnubCxyn0121000100010001naaAaa011nb001cTocAATocCBTocBC(2)只含单实极点时的情况传递函数可展成部分分式之和：若令状态变量其反变换结果为)()(sDsN)())(()(21nssssD)()()()(sDsNsUsYniiisc1iiisssDsNc)()()(niiisUscsY1)()()(1)(sUssXiini,,2,1)()()(tutxtxiiiniiitxcty1)()(展开得向量-矩阵形式为：)()()(tutxtxiiiniiitxcty1)()(uxx111uxx222uxxnnnnnxcxcxcy2211uxxxxxxnnn11100312121nnxxxcccY2121若令状态变量满足进行反变换并展开有其向量-矩阵形式为)()(sUscsXiiiniisXsY1)()(nnnnnxxxyucxxucxxucxx2122221111ucccxxxxxxnnnn2131212100nxxxy31111例已知系统传递函数为，试求对角型状态空间表式。解状态空间表达式为：8147158)(232ssssssG4218147158)(321232scscscssssssG38)1()(11sssGc23)2()(22sssGc61)4()(43sssGcuxx111400020001xy612338(3)含重实极点时的情况设D(s)可分解为传递函数可展成为下列部分分式之和式中的计算公式（r重极点）：状态变量的选取方法与之含单实极点时相同，可得出向量-矩阵形式的动态方程。)()(sDsN)()()()(431nssssDniiiscscscscsDsNsUsY111321123111)()()()()()(ic1riisissDsNdsdic)()()()!1(1lim11111动态方程：或者uxxxxxxxxxxnnn