高考专题专题15三角函数与向量综合大题(解析版)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作例1【2013江苏高考】已知)sin,(cos)sin,(cosba，＝，0.（1）若2||ba，求证：ba；（2）设)1,0(c，若cba，求，的值.[答案]（1）详见解析（2）56，6例2【2012江苏高考】在ABC中，已知3ABACBABC．（1）求证：tan3tanBA；（2）若5cos5C，求A的值．【答案】（1）详见解析.（2）=4A由（1），得24tan213tanAA，解得1tan=1tan=3AA，。∵cos0A，∴tan=1A。∴=4A.例3【2011江苏高考】在ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,。(1)若AAcos2)6sin(，求A的值;（2）若cbA3,31cos，求Csin的值;.从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以解答题的形式出现，属解答题中的低档题．向量中的数量积为考查的重点内容，仅作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具，向量思想少有触及.1.预测2014年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．2.利用正弦定理与余弦定理解题，经常利用转化思想，一个是边转化为角，另一个是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正余弦定理化简式子的最终目的.对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便.根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论；利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是锐角还是钝角，但是计算麻烦.3.处理三角问题强调“变”为主线，变角、变名、变次、变结构特别要强化变角的训练.注意三角函数与向量等内容的结合，重视三角函数的应用问题.1..【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知向量(sin,1),(1,cos),22ab．(1)若ab，求；(2)求ab的最大值．【答案】(1)4(2)2+1【解析】2．【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知ABC的周长为21，且sinsin2sinABC（1）求边AB的长；（2）若ABC的面积为1sin6C，求角C.【答案】（1）1AB;(2)C3【解析】试题分析：（1）由题中所给三角形周长,即ABBCCA为已知,又由sinsin2sinABC结合正弦定0,C,3C…………（14分）．3.【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角045CAD．(1)求BC的长度；(2)在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的张角分别为APB，DPC，问点P在何处时，tan()最小？【答案】(1)18m;(2) P在距离1B56-27时,()tan＋最小【解析】化简整理得215540xx－－＝，解得12)183(xx＝，＝－舍去．4.【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2c，3C.（1）若ABC的面积等于3，求a，b；（2）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC的面积.【答案】（1）2a，2b；（2）23.3【解析】试题分析：（1）利用余弦定理及面积公式1sin2SabC列方程组就可求出a，b；（2）先根据诱导公式将sinC化为sin(),AB再利用两角和与差的正弦公式及二倍角公式化简，最后在约分时注意讨论.5.【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，ACAB＝8，∠BAC＝θ，a＝4，(1)求b·c的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3的最值．【答案】(1)bc的最大值为16,03;(2)当=3时，minf()2,当=6时，maxf()3.【解析】即2232bc＋＝.又222bcbc＋，16bc，即bc的最大值为16.而881bc=,16,cos,0,023coscos.(2)22f()=23sin()+2cos33[1-cos(+2)]221221+1+cos236(42)sincossin＝＋＋＝＋＋510,2,sin(2)1366626.当52+66，即=3时，minf()2.当2+62，即=6时，maxf()3.6.【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】设向量),cos,(sinxxa),sin3,(sinxxbxR，函数)2()(baaxf.（1）求函数)(xf的单调递增区间；（2）求使不等式()2fx成立的x的取值集合．【答案】（1）[,]63kk()kZ；（2）,124xkxkkZ．【解析】(2)由()22sin(2)6fxx，得()4cos(2)6fxx.由()2fx，得1cos(2)62x，则222363kxk，即124kxk()kZ.∴使不等式()2fx成立的x的取值集合为,124xkxkkZ.……14′7.【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知向量(cos,sin)a，(2,1)b．(1)若ab，求sincossincos的值；(2)若2ab，(0,)2，求sin()4的值．【答案】（1）13；（2）7210.【解析】试题分析：（1）由ab易得sin2cos，代入式子sincossincos中可约去为cos求出其值；（2）先求8.【苏州市2014届高三调研测试】在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1cos2aCcb．（1）求角A的大小；（2）若15a，4b，求边c的大小．【答案】（1）3；（2）23.【解析】1sin0,cos.2CA………6分0,.3AA………8分（2）用余弦定理，得2222cos.abcbcA15,4,ab21151624.2cc即2410.cc……12分则23.c……14分.9.【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】在△ABC，已知.sinsin3)sinsin)(sinsinsin(sinCBACBCBA(1)求角A值；(2)求CBcossin3的最大值.【答案】⑴3A;⑵1．【解析】的值，这样可得,BC的关系，则23sincos3sincos()3BCBB，运用两角差的余弦公式展开可化简得sincosaBbB的形式，再根据公式22sincossin()aBbBabB化简，最后结合函数sin()yAxB的图象，结合B的范围，可求出3sincosBC的范围，即可得到10.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】已知(cos,sin),(cos,sin)ab．（1）若67，求ab的值；（2）若4,58ab，且0,2，求tan()的值．【答案】（1）32；（2）7.【解析】（2）∵54ba∴54cos，53sin，43tan)(4)(2)](4tan[)tan()tan(1)tan(1=431431=7.11.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.3tan)(222bcAacb（1）求角A；（2）若2a，求ABC面积S的最大值.【答案】（1）60A；（2）3.【解析】12.【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】如图，两座建筑物CDAB,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm和15cm，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角45CAD.求BC的长度；在线段BC上取一点(P点P与点CB,不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为,,DPCAPB问点P在何处时，最小？【答案】⑴18m;⑵当BP为(15627)m时，+取得最小值．【解析】试题解析：⑴作AECD，垂足为E，则9CE，6DE，设BCx，则tantantantan()1tantanCAEDAECADCAEDAECAEDAE++…………………2分961961xxxx+，化简得215540xx，解之得，18x或3x（舍）增函数，所以，当15627t时，()ft取得最小值，即tan()+取得最小值，………12分因为2181350tt+恒成立，所以()0ft，所以tan()0+，(,)2+，因为tanyx在(,)2上是增函数，所以当15627t时，+取得最小值．答：当BP为(15627)m时，+取得最小值．……………………………14分13.【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知函数cxxxfcossin3（Rx,0，c是实数常数）的图像上的一个最高点1,6，与该最高点最近的一个最低点是3,32，(1)求函数xf的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为cba,,，且acBCAB21，角A的取值范围是区间M，当Mx时，试求函数xf的取值范围.【答案】（1）()2sin(2)16fxx，单调递增区间是[,],36kkkZ；（2）(3,1].【解析】∵(,1)6和2(,3)3分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，∴2,2362,2sin()1.66TTc解得,1,2.Tc∴()2sin(2)16fxx.由222,262kxkkZ，解得,36kxkkZ.∴函数()fx的单调递增区间是[,],36kkkZ.14.【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】已知函数3cos32cossin2)(2xxxxf，Rx．（1）求函数)(xf的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC中，若1)(Af，2ACAB，求△ABC的面积．【答案】（1）12,125kk（Zk）；（2）22．【解析】cosABACABACA，因此我们选面积公式1sin2SABACA，正好由已知条件可求出A，也即求出sin,cosAA，从而得面积．15.【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知)sin,cos(A．)sin,cos(B，其中、为锐角，且510AB．（1）求)c