2014年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)

12014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2014年北京，理1，5分】已知集合2{|20}Axxx，{0,1,2}B，则AB（）（A）{0}（B）{0,1}（C）{0,2}（D）{0,1,2}【答案】C【解析】集合2|2002Axxx,．故02AB,，故选C．（2）【2014年北京，理2，5分】下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是（）（A）1yx（B）2(1)yx（C）2xy（D）0.5log(1)yx【答案】A【解析】对于A，1yx在1，上为增函数，符合题意，对于B，2(1)yx在(01)，上为减函数，不合题意，对于C，2xy为()，上的减函数，不合题意，对于D，0.5log(1)yx为(1)，上的减函数，不合题意，故选A．（3）【2014年北京，理3，5分】曲线1cos2sinxy（为参数）的对称中心（）（A）在直线2yx上（B）在直线2yx上（C）在直线1yx上（D）在直线1yx上【答案】B【解析】参数方程1cos2sinxy，所表示的曲线为圆心在(12)，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)，．逐个代入选项可知，(12)，在直线2yx上，故选B．（4）【2014年北京，理4，5分】当7,3mn时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）7（B）42（C）210（D）840【答案】C【解析】当m输入的7m，3n时，判断框内的判断条件为5k．故能进入循环的k依次为7，6，5．顺次执行SSk，则有765210S，故选C．（5）【2014年北京，理5，5分】设{}na是公比为q的等比数列，则“1q”是“{}na”为递增数列的（）（A）充分且不必要条件（B）必要且不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对于等比数列na，若1q，则当10a时有na为递减数列．故“1q”不能推出“na为递增数列”．若na为递增数列，则na有可能满足10a且01q，推不出1q．综上，“1q”为“na为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D．（6）【2014年北京，理6，5分】若,xy满足20200xykxyy且zyx的最小值为4，则k的值为（）（A）2（B）2（C）12（D）12【答案】D【解析】若0k≥，zyx没有最小值，不合题意．若0k，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，zyx在点20k，处取最小值．故204k，解x+y-2=0-2kkx-y+2=022Oyx2得12k，故选D．（7）【2014年北京，理7，5分】在空间直角坐标系Oxyz中，已知2,0,0A，2,2,0B，0,2,0C，1,1,2D，若1S，2S，2S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A）123SSS（B）12SS且31SS（C）13SS且32SS（D）23SS且13SS【答案】D【解析】DABC在xOy平面上的投影为ABC△，故12S，设D在yOz和zOx平面上的投影分别为2D和3D，则DABC在yOz和zOx平面上的投影分别为2OCD△和3OAD△．∵2012D，，，3102D，，，故232SS，故选D．（8）【2014年北京，理8，5分】有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好”，现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的．问满足条件的最多有多少学生（）（A）2（B）3（C）4（D）5【答案】B【解析】用ABC分别表示优秀、及格和不及格．显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的也最多只有1个，得C的也最多只有1个，因此学生最多只有3个．显然，（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多3个，故选B．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2014年北京，理9，5分】复数21i1i．【答案】1【解析】复数21i(1i)2ii1i(1i)(1i)2，故221i()i11i．（10）【2014年北京，理10】已知向量a、b满足1a，2,1b，且0abR，则．【答案】5【解析】由0ab，有ba，于是||||||ba，由(21)b，，可得5b，又||1a，故||5．（11）【2014年北京，理11，5分】设双曲线C经过点2,2，且与2214yx具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为______．【答案】221312xy，2yx【解析】双曲线2214yx的渐近线为2yx，故C的渐近线为2yx，设C：224yxm并将点(22)，代入C的方程，解得3m，故C的方程为2234yx，即221312xy．（12）【2014年北京，理12，5分】若等差数列na满足7890aaa，7100aa，则当n________时，na的前n项和最大．【答案】8【解析】由等差数列的性质，78983aaaa，71089aaaa，于是有80a，890aa，故90a．故87SS，98SS，8S为{}na的前n项和nS中的最大值．（13）【2014年北京，理13，5分】把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_______种．【答案】36D1OD3D2DCBAzyx3【解析】先只考虑A与产品B相邻．此时用捆绑法，将A和B作为一个元素考虑，共有4424A种方法．而A和B有2种摆放顺序，故总计242=48种方法．再排除既满足A与B相邻，又满足A与C相邻的情况，此时用捆绑法，将ABC，，作为一个元素考虑，共有33A6种方法，而ABC，，有2种可能的摆放顺序，故总计62=12种方法．综上，符合题意的摆放共有481236种．（14）【2014年北京，理14，5分】设函数()sin()fxx，0A，0若()fx在学科网区间,62上具有单调性，且2236fff，则()fx的最小正周期为________．【答案】【解析】由fx在区间ππ62上具有单调性，且ππ26ff知，fx有对称中心π03，由π2π23ff知fx有对称轴1π27ππ22312x，记T为最小正周期，则1ππ2π2263TT≥≥，从而7πππ1234TT．三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2014年北京，理15，13分】如图，在ABC中，3B，8AB，点D在BC边上，且2CD，1cos7ADC．（1）求sinBAD；（2）求BD，AC的长．解：（1）在ADC中，因为17COSADC，所以43sin7ADC．所以4311333sinsin()sincoscossin727214BADADCBADCBADCB．（2）在ABD中，由正弦定理得338sin143sin437ABBADBDADB，在ABC中，由余弦定理得2222212cos85285492ACABBCABBCB，所以7AC．（16）【2014年北京，理16，13分】李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6概率；（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这比赛中的命中次数，比较()EX与x的大小（只需写出结论）解：（1）李明在该场比赛中命中率超过0.6的概率有：主场2主场3主场5客场2客场4所以李明在该场比赛中投篮命中超过0.6的概率51102P．4（2）李明主场命中率超过0.6概率135P，命中率不超过0.6的概率为1215P，客场中命中率超过0.6概率225P，命中率不超过0.6的概率为2315P．332213555525P．（3）EXx．（17）【2014年北京，理17，14分】如图，正方形AMDE的边长为2，,BC分别为,AMMD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱,PDPC分别交于点,GH．（1）求证：//ABFG；（2）若PA底面ABCDE，且AFPE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，求线段PH的长．解：（1）AMED//，AM面PED，ED面PED．AM∥面PED．AM面ABF，即AB面ABF，面ABF面PDEFGABFG∥．（2）如图建立空间直角坐标系Axyz，各点坐标如下0,0,0A,0,2,0E,1,0,0B,2,1,0C,0,1,1F,0,0,2P，设面ABF的法向量为000,,nxyz，1,0,0AB，0,1,1AF，00nABnAF，即00xyz，令1y，0,1,1n，又1,1,0BC，11sin,222BCn，直线BC与平面ABF所成的角为π6．设111,,Hxyz，由PHtPC，则111,,22,1,2xyzt111222xtytzt2,,22Httt，又H面ABF，21,,22BHttt，0nBH，220tt，23t，422,,333H，424,,333PH2224242333PH．（18）【2014年北京，理18，13分】已知函数()cossin,[0,]2fxxxxx．（1）求证：()0fx；（2）若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的最大值与b的最小值．解：（1）cossincossinfxxxxxxx，π02x时，0fx≤，从而fx在π02上单调递减，所以fx在π02上的最大值为00f，所以00fxf≤．（2）解法一：当0x时，“sinxax”等价于“sin0xax”；“sinxbx”等价于“sin0xbx”，令singxxcx，则cosgxxc．当0c≤时，0gx对任意π02x恒成立．当1c≥时，因为对任意π02x，cos0gxxc，所以gx在区间π02上单调递减．从而00gxg对任意π02x恒成立．当01c时，存在唯一的0π02x，使得00cos0gxxc