正弦定理和余弦定理的综合应用

三角形性质3、判断三角形形状：统一看边；或统一看角1ABC、2、大边对大角，大角对大边4、如无特别说明，△ABC的边BC、AC、AB分别用a、b、c表示。知识小结5.正弦定理和余弦定理•1.正、余弦定理是应用十分广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生联系，为求三角形的有关量，如面积、外接圆或内切圆的半径等提供了理论基础，也是判定三角形的形状，证明三角形中有关等式的重要依据.•2.三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理.222233222222222sinsinsi00n0cbAbBcCcbabccbabcbbcccbbbccabcbbccabcBCC由，得，所以，即，所以或，当时，有，所解析以：为锐角，222.2sinsinsinsin2.ABCABCabcCcbAbBcCABC1钝角的三内角、、所对的边分别为、、，，，求角、、2222222222sin45291201545.001cos222120sin24518015CBCAABCbbccabcabcbcaAbcACCCBACABC又，所以，所以，这与为钝角三角形矛盾．当时，，所以，所以，又且为锐角，所解析：综上可知，，，以，所以，cos,,,,cos2(1)213,4,BbABCabcABCCacBbacABC在中，分别是角的对边，且求角的大小；（）若求的面积CABCRcsin2)sin(2BARABRBARcossin2cossin2AbBacoscos同理可证：,coscosAcCab,coscosBcCba2224sinsin1.ABCBCbcabcBCABC在中，已知，，且，求、、解：bcacbA2cos222由余弦定理，bcbc221，1800A.60A120CB1sinsin4CB1)120sin(sin4BB1)sin120coscos120(sinsin4BBB1)sin21cos23(sin4BBB1sin22sin32BBBB2cos2sin3332tanB2102302BB或CBCB且由于12012060B105B10515BB或.15)(180BAC，23cosABCABCabcBCbaA在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，求的值；31cos2cos2sincossinABCABCACcaCabcBbA在中，角，，所对的边分别为，，，已知，求的值；222ABCACACacb在中，最大，最小，且，，求此三角形的三边之比。ABC在中，三边长为连续的正整数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长。2222)sin())sin(),bABbAB在ABC中，a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边，如果（a（a判断三角形的形状在△ABC中，若(a－ccosB)sinB＝(b－ccosA)sinA，判断△ABC的形状．∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故三角形为等腰三角形或直角三角形．【变式3】解法一由正弦定理及余弦定理知，原等式可化为a－c·a2＋c2－b22acb＝b－c·b2＋c2－a22bca，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，法二由正弦定理，原等式可化为(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，∴sinBcosB＝sinAcosA，∴sin2B＝sin2A，∴2B＝2A或2B＋2A＝π，∴A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．π2在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解法一在△ABC中，∵sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0(舍)．【变式4】a·a2＋b2－c22ab＝3b2＋c2－a22bcc，化简并整理得：法二由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0.所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，sin(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC，由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA．②由①②解得b＝4.bc在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：a2－b2c2＝sin(A－B)sinC.证明右边＝sinAcosB－cosAsinBsinC＝a·a2＋c2－b22ac－b·b2＋c2－a22bcc＝a2－b2c2＝左边．所以a2－b2c2＝sin(A－B)sinC.例.判断满足下列条件的三角形的形状(1)2cosabC(2)sin,sin2sinsinacACAB22(3)tantanbAaB(4)coscoscosaAbBcC例.已知三角形的三边为1，2，a,若三角形为锐角三角形，求a的范围。