一元一次方程的解法

1一元一次方程的解法知识点和方法概述1、等式等式：用“=”表示相等关系的式子。等式的性质：1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。即：若A=B，则A±C=B±C。2）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式。即：若A=B，0≠C，则A⋅C=B⋅C，CBCA=。3)等式的对称性：若A=B，则B=A。4）等式的传递性：若A=B，B=C，则A=C。等式的类型：1）恒等式：当不论用任何数值代替等式中的字母，其左右两边的值总相等时，这样的等式叫做恒等式。如00=⋅x。2）矛盾等式：如2=0，122+=xx3）条件等式：字母取某特定值时才成立的等式，如343=−x2、方程方程：含有未知数的等式叫做方程。方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。解方程：求方程的解的过程叫做解方程。同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。（注：用等式的两条性质所得的方程与原方程是同解方程。）方程的同解原理：1）方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；2）方程两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为0），所得结果仍是等式。不难看出，方程的同解原理是由等式的性质演变出来的，其实质是一样的。检验方程的解：检验一个数是不是某个方程的解，其方法是将数分别代入方程的左边和右边，如果左边=右边，则该数就是原方程的解，否则就不是。含绝对值符号的方程：绝对值符号内含有未知数的方程，叫含绝对值符号的方程，有时也简称绝对值方程。解含绝对值符号的方程的基本思想就是去掉绝对值符号，转化为一般方程。具体操作方式有两种：其一是对含绝对值符号的各个式子分别讨论其正负，利用绝对值的定义去掉绝对2值符号。这种方法通常叫做零点分段（讨论）法。其二是整体考虑，将带绝对值符号的代数式作为一个整体，求出其值，再按绝对值的意义去掉绝对值符号，化为一般方程。此外，还经常利用绝对值的几何意义求解含绝对值符号的方程。3、一元一次方程一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。这里的“元”是指方程中的未知数，“次数”是指方程中含有未知数的项的最高次数。一元一次方程的标准形式：方程0=+bax（其中x是未知数，ba,是已知数，并且0≠a）叫做一元一次方程的标准形式。一元一次方程的解法：移项法则：方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即移项要变号。解一元一次方程的一般步骤、具体做法、依据及每步的做法、注意事项，可归纳如表1。表1解一元一次方程的一般步骤、具体做法、依据及注意事项变形名称具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式性质21、不要漏乘不含分母的项；2、分子是代数式要加括号。去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号。（由内向外去括号）分配率，去括号法则。1、不漏乘括号内各项；2、注意若括号前是“负号”，括号内各项要变号。移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程另一边，记住移项要变号。移项法则1、移项要变号，未移的项不变号；2、不要漏项。合并同类项把方程化成)0(≠=abax的形式。合并同类项法则1、系数相加；2、字母及其指数不变。系数化1在方程两边除以未知数的系数a，得到方程的解abx=。等式性质2分子、分母不要搞颠倒。解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且不一定按照自上而下的顺序，要根据方程的形式灵活安排求解步骤，适当进行简化。34、解形如0=+bax（其中x是未知数，ba,是已知数）的字母系数方程，需分类讨论：当0≠a时，方程有惟一解abx−=；当0,0==ba时，00=⋅x,方程有无数个解，且x可为任意实数；当0,0≠=ba时，原方程无解。以上结论反过来也成立。例题精讲例1解方程2222221212121=−−−−x（注：根据方程结构特点，这里选择了先移项再去分母，同时也去掉了一个括号的方式。若采用先去分母，去括号，则解法要复杂得多。）例2解方程186432517191=++++x注：根据方程结构特点，这里选择了先去分母再移项，同时去掉一个括号的方式。例3解方程：xx3221221413223=−++分析：注意到23与32互为倒数，223×为整数，因此，解方程时先去中括号为宜。巩固练习：解下列方程1.7x=6x+122.16=4x3.15-x=2x4.3x-7=x+1.5.3x=5x-44解下列方程1.15-(8-5x)=7x+(4-3x)2.3(x-7)-2[9-4(2-x)]=223.2(x-2)+2=x+14.0.4(x-0.2)+1.5=0.7x-0.38解下列方程1、xx3521=−2、152+−=−xx3、3131=+−xx4、xxx−=−−+22132应用题（题型1-3）（1）和、差、倍、分问题。此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。类似于：甲乙两数之和56，甲比乙多3（乙是甲的1/3），求甲乙各多少？这样的问题就是和倍问题。问题的特点是，已知两个量之间存在合倍差关系，可以求这两个量的多少。基本方法是：以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的关系列出方程。5例1、一个机床厂今年第一季度生产机床180台，比去年同期的二倍多36台，去年一季度产量多少台？例2、某通信公司今年员工人均收入比去年提高20%，且今年人均收入比去年的1.5倍少了1200元，求去年人均收入？例3．“希望工程”委员会将2000元奖金发给全校25名三好学生，其中市级三好学生每人得奖金200元，校级三好学生每人得奖金50元，问全校市级三好学生、校级三好学生各有多少人？（2）调配问题。从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。例1.学校组织植树活动，已知在甲处植树的有27人，在乙处植树的有18人.如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，需要从乙队调多少人到甲队？例2.学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人，应调往甲、乙两处各多少人？例3.5位教师和一群学生一起去公园，教师按全票的票价是每人7元，学生只收半价.如果买门票共花费206.50元，那么学生有多少人？（3）工程问题。其基本数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列6表或画图来帮助理解题意。例1.一项工程，甲、单独做需20天完成，乙单独做需30天完成，如果先由甲单独做8天，再由乙单独做3天，剩下的由甲，乙两人合作还需要几天完成？例2..一项工程，甲独做需１２天完成，乙独做２４天完成，丙独做需６天完成，现在甲与丙合作２天，丙因事离去，由甲乙合作，甲乙还需几天才能完成这项工程？例3.一部稿件，甲打字员单独打20天可以完成，甲、乙两打字员合打，12天可以完成，现由两人合打7天后，余下部分由乙打，还需多少天完成？作业：1.7x-5=x+21.2.1835+=−xx3.2x:3=5:64.30x-10(10-x)=1005.4(x+2)=5(x-2)6.120-4(x+5)=257.2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)8、1)23(2151=−−xx9、23421=−++xx71.一群老人去赶集，集上买了一堆梨，一人1个多一个，一人2个少2个，几位老人几个梨？2.某学校组织10名优秀学生春游，预计费用若干元，后来又来了2名同学，原来的费用不变，这样每人可以少摊3元，则原来每人需要付费多少元？3.甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队，这时甲队人数比乙队人数的一半多3人，求甲队原来的人数。4.某中学组织同学们春游，如果每辆车座45人，有15人没座位，如果每辆车座60人，那么空出一辆车，其余车刚好座满，问有几辆车，有多少同学？5.一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需12天，丙单独完成要15天，若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲的工作，问还需多少天能完成这项工程的？6.一件工作，甲单独做6小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做18小时完成，若先由甲、乙合做3小时，然后由乙丙合做，问共需几小时完成？