椭圆及其标准方程(第一课时)

下页圆锥曲线平面内与定点距离等于定长点的轨迹是圆思考：平面内到两定点距离之和为常数点的轨迹是什么?yxMF1OF2剖析:平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是：（3）当2a|F1F2|时,点M的轨迹是为（1）当2a=|F1F2|时,点M的轨迹为（2）当2a|F1F2|时,点M的轨迹为?线段F1F2不存在F1F2（３）常数应大于|F1F2|（若常数等于|F1F2|轨迹是线段F1F2,若常数小于|F1F2|无轨迹).平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.1、椭圆的定义：思考：满足什么条件的动点的轨迹是椭圆？（１）在平面内（２）动点到两个定点的距离之和是常数．哈雷慧星及其运行轨道椭圆形的尖嘴瓶椭圆形的餐桌椭圆形的精品想一想？求曲线方程的方法步骤是什么？建系：设点：列式：化简：证明：建立适当的直角坐标系；设M（x,y）是曲线上任意一点；建立关于x,y的方程f(x,y)=0；化简方程f(x,y)=0.说明曲线上的点都符合条件（纯粹性）；符合条件的点都在曲线上（完备性）.1F2FxyO),(yxM怎样建立平面直角坐标系呢？2aMFMF21c,0c,0-椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和为2a2.求椭圆的标准方程OXYF1F2M如图所示：F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为X轴，F1F2的中垂线为Y轴,建立平面直角坐标系。(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+|MF2|=2aaycxycx2)()(:2222即则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)(:ycxycxaaycx两边平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(ab0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。caxyO．Ｆ２．Ｆ１Mb问题：如果焦点F1,F2在y轴上，并且点o与线段F1F2的中点重合，a,b,c的意义同上，椭圆的标准方程形式又如何呢？222y(0,);(,;0)cabcc12此时焦点在上，F，F轴xyoF1F2M)0(12222babxayOXYF1F2M(-c,0)(c,0)OXYF1F2M(0,-c)(0,c))0(12222babyax)0(12222babxay椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程就只有以上两种形式：等式左边是两个分式的平方和，等式右边是1（2）椭圆的标准方程中都有a2=b2+c2。并且a总是最大的（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一个轴上。可见：要求椭圆的标准方程应从-------和-------两方面去考虑。首先，要“定位”，即确定焦点所在的坐标轴，以确定椭圆的方程类型．其次是“定量”，即利用条件确定方程中的a,b的值，常常通过待定系数法去求．定位定量1162522yx543(3,0)、(-3,0)63.定义的简单应用716例1、填空(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则点P到另一个焦点F2的距离等于_______，则三角形F1PF2的周长为___________F1F2XYPo15422yx(2)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：___________焦距等于__________;若CD为过上焦点F2的弦，则F1CD的周长为________21(0,-1)、(0,1)2554XYOF2F1CD求椭圆的标准方程。并且经过点（），），（分别是（椭圆的两个焦点的坐标例),23,250,20,2-2。两点的椭圆的标准方程且经过：求以对称轴为坐标轴变式)1,32(),2,3A(2B求椭圆的标准方程（1）首先要判断类型，（2）用待定系数法求a、b求椭圆的标准方程。，且经过点（：已知椭圆的焦距为变式),62,081）的椭圆方程，共焦点，且过点（：求与椭圆变式32149322xy例3已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程。yoBCAx解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在x轴上，所以可设椭圆的标准方程为：)0(12222babyax1162522yx∵2a=10,2c=6∴a=5,c=3∴b2=a2－c2=52－32=16∴顶点A的轨迹方程为思考：焦点建在Y轴上的椭圆的标准方程呢？)0(y变式1：在三角形ABC中，B(-3,0)，C(3,0),且三边长|AC|,|BC|,|AB|成等差数列，求顶点A的轨迹方程。变式2：在三角形ABC中，B（0，-3），C（0，3）且sinB+sinC=2sinA,求顶点A的轨迹方程。10)3()3(2222yxyx变式3：化简方程变式3：化简方程10)3()3(2222yxyxOXYF1F2M(0,-3)(0,3)(x,y)答案：1162522xy所以|MF1|+|MF2|=106分析：点M(x,y)到两(0,-3)、(0,3)的距离之和为定值10。.14422的取值范围的椭圆，求轴上表示的曲线是焦点在若方程例kykyx练习:__________________123.122的范围是轴上的椭圆，则如果表示焦点在；的范围是表示椭圆，则已知方程kxkkykx_________)0(.222的焦点坐标是椭圆nmmnnymx椭圆的标准方程012222babyax12yoFFMxyxoF2F1M012222babxay定义图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系a2=b2+c2|MF1|+|MF2|=2a小结：