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2．1.1椭圆及其标准方程(二)例1已知A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的周长为36，求△ABC的顶点C的轨迹方程．题型一与椭圆有关的轨迹问题解析∵|AC|＋|BC|＋|AB|＝36∴|AC|＋|BC|＝26(|AB|)∴顶点C的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，且与AB不共线．∴轨迹方程为x2169＋y2144＝1(x≠0)探究1此类题的条件恰好满足椭圆的定义，故先确定动点的轨迹为椭圆，再由待定系数法求解．思考题1设圆Q：(x－1)2＋y2＝81，A是圆内一点，坐标为(－1,0)，P是圆Q上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径QP相交于点M，求M的轨迹方程．解析由题意知：|MA|＝|MP|∵|QM|＋|MP|＝R＝9∴|MA|＋|MQ|＝9(|AQ|)∴M的轨迹为以A、Q为焦点，2a＝9的椭圆．∴方程为：4x281＋4y277＝1.例2一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解析两定圆的圆心和半径分别为O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9，设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MQ1|＝1＋R，|MQ2|＝9－R.∴|MQ1|＋|MQ2|＝10|O1O2|＝6.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.探究2该题是先根据几何知识找到动点能满足的几何关系，列出代数等式，正好符合椭圆定义，由椭圆定义直接写出轨迹方程即可．思考题2动圆C和定圆C1：x2＋(y－4)2＝64内切而和定圆C2：x2＋(y＋4)2＝4外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析设动圆圆心(x，y)，半径为r，由已知得：|CC1|＝8－r①|CC2|＝2＋r②∴|CC1|＋|CC2|＝10∴C的轨迹方程为x29＋y225＝1.例3(教材改编题)在圆x2＋y2＝9上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，M为PD上一点，且|PM|∶|MD|＝2∶1，求M点的轨迹方程．解析设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x0，y＝13y0.∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，那x20＋y20＝9∴x2＋(3y)2＝9，∴x29＋y2＝1.探究3(1)此题体现了坐标转移法求轨迹方程的一般步骤．(2)体现了椭圆与圆图形间的变化．思考题3本例条件若变为：过P作y轴的垂线段PD，M为PD上一点，则|PM|∶|MD|＝2∶1.求M点的轨迹方程．解析设点M(x，y)，P(x0，y0)则x＝13x0，y＝y0.∵x20＋y20＝9.∴(3x)2＋y2＝9，即x2＋y29＝1.例4P为椭圆y25＋x24＝1上的一点，F1、F2为焦点，且∠F1PF2＝30°.(1)求△F1PF2的周长；(2)求|PF1|·|PF2|；(3)求△F1PF2的面积．题型二焦点三角形问题解析(1)△F1PF2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝25＋2(2)由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°＝|F1F2|2.即|PF1|2＋|PF2|2－3|PF1|·|PF2|＝4.即(|PF1|＋|PF2|)2－(2＋3)|PF1|·|PF2|＝4.即20－(2＋3)|PF1|·|PF2|＝4.∴|PF1|·|PF2＝16(2－3)．(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sin30°＝14|PF1||PF2|＝4(2－3)探究4椭圆中的焦点三角形问题经常是用定义结合正余弦定理，勾股定理等来解决，在解题时，经常用到配方，出现|PF1|＋|PF2|形式．解方程，把|PF1|·|PF2|看作一个整体．思考题4已知椭圆x249＋y224＝1上一点P与两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.解析由勾股定理知：|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝100.而|PF1|＋|PF2|＝2a＝14.∴(|PF1|＋|PF2|)2＝196.结合以上两式，|PF1|·|PF2|＝48.答案48