椭圆双曲线的离心率专题复习

胡光启2.椭圆离心率的取值范围？离心率变化对椭圆的扁平程度有什么影响？e∈(0，1).e越接近于0，椭圆越圆；e越接近于1，椭圆越扁.知识回顾：1.离心率的定义：cea3.双曲线离心率的取值范围？离心率的变化对双曲线的扁平程度有什么影响？e∈(1，+).e越大，双曲线开口越开阔；e越接近于1，双曲线开口越窄.4.焦半径：PFed知识回顾：1、根据条件先求出a，c，利用e=ca求解例1.已知椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，求椭圆离心率的值。题型一:求离心率的值：解析：由F1、F2的坐标知2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,所以离心率e=ca=12.故选C.例2：在平面直角坐标系中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点(a2c，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．PBAOyx2.利用已知条件建立a,c的等量关系)0,0(12222babyax例3：已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是直角三角形，求该双曲线离心率的值。2.利用已知条件建立a,c的等量关系：211222222221212bAFFFcabaccaaceee解：由有即：例4.设M点是椭圆上一点，F1、F2为椭圆的左右焦点，如果∠F1MF2=900，求此椭圆的离心率的取值范围。XYOMF1F2问题的关键是寻找a、c的不等关系22221(0,0)xyabab题型二:求离心率的取值范围：思路1：巧用图形的几何特性1290FPF12||2FFc2222cbcbac由此可得，）e[221由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有问题二：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是．xOAFPy分析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等，即PF＝FA．如果我们从几何的角度考虑，易知PF不超过a＋c，得到一个关于基本量a，b，c，e的不等式，从而求出离心率e的范围；解法一：椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即PF＝FA．而FA＝a2c－c，PF≤a＋c，所以a2c－c≤a＋c．又e=ca，所以2e2＋e－1≥0，解得12≤e＜1．如果我们通过设椭圆上的点P(x，y)，注意到椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围．解法二：设点P(x，y)．由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以PF＝FA．由PFa2c－x＝e，所以PF＝a－ex．而FA＝a2c－c，所以a－ex＝a2c－c，解出x＝1e(a＋c－a2c)．由于－a≤x≤a，所以－a≤1e(a＋c－a2c)≤a，所以2e2＋e－1≥0，解得12≤e＜1．问题三：已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是．B2B1F1yxOF2P分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当M为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1PF2最大（需要证明），从而有0＜∠F1PF2≤∠F1B1F2．根据条件可得∠F1B1F2≥60°，易得ca≥12．故12≤e＜1．证明，在△F1PF2中，由余弦定理得，22212121212cos2PFPFFFFPFPFPF2212122121212PFPFFFPFPF2222aca当且仅当PF1＝PF2时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1MF2最大．如果通过设椭圆上的点P(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围．在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点P的坐标不易表示）．因此，在解题过程中要注意方法的选择．212aPFPF||||2221212222212124||||2||||2(||||)2||8aPFPFPFPFPFPFFFc得ca2212所以有，）e[221思路2：利用基本不等式两边平方后得：由椭圆的定义有：22212121222222222222222222||||||||||224220PFaexPFaexPFPFFFacxexacxexccaaexcxPxyexaxa，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即2222220[12caaee得，）思路3：利用焦半径由焦半径公式得关键：建立离心率与变量X的等量关系PFFPFF1221，，由正弦定理有1212121212||||||||sinsinsin90||||2||2112sincos22sin()4PFPFFFFFPFPFaFFccea又，，则有212e从而可得思路4：利用三角函数有界性设||||||||||||PFPFaPFPFPFPFa121222122224222212121222121222290||||||4||||2()||||22()0FPFPFPFFFcPFPFacPFPFuauac又由，知则可得这样，与是方程的两个实根，因此2222221248()022caaceea因此，e[)221思路5：利用二次方程有实根由椭圆定义知FcFc1200（，），（，）121212122222()()900()()0FPxcyFPxcyFPFFPFPFPFPxcxcyxyc，，，由，知，则，即得2222222122222222229000acabxFPFxaabacabaab由椭圆范围及知即22222222221,[12ccbcaccaeaceea可得，即，且从而得，且所以，）思路6：向量法：设P（x，y），又知联立方程得：例4.例3：设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点求双曲线离心率的取值范围。22221(0,0)xyabab1,212,4,FFPFPF思路1：三角形三边不等关系。思路2：利用双曲线焦半径的取值范围建立不等关系。思路3：利用双曲线上点的横坐标的取值范围建立不等关系。思路4：利用解三角形建立不等关系。513e例5.总结：1．圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围。2．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．3．一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．4．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关．在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e∈(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e∈(1，＋∞)；在抛物线中，离心率e＝1．