椭圆四：面积问题

椭圆四：有关面积问题1.（2010一模）海淀19．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为12,FF，且12||2FF，点（1，32）在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过1F的直线l与椭圆C相交于,AB两点，且2AFB的面积为1227，求以2F为圆心且与直线l相切的圆的方程.答案：19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221,(0)xyabab，由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为1(1,0)F，2(1,0)F..……………1分222233532(11)()(11)()42222a..……………3分2,a又1c2413b，……………4分故椭圆的方程为22143xy..……………5分（Ⅱ）当直线lx轴，计算得到：33(1,),(1,)22AB，21211||||32322AFBSABFF，不符合题意..……………6分当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：(1)ykx，由22(1)143ykxxy，消去y得2222(34)84120kxkxk，.……………7分显然0成立，设1122(,),(,)AxyBxy，则221212228412,,3434kkxxxxkk.……………8分又422221212222644(412)||1()41(34)34kkABkxxxxkkk即2222212112(1)||13434kkABkkk，.……………9分又圆2F的半径22|10|2||,11kkkrkk.……………10分所以2222221112(1)2||12||1122||,22343471AFBkkkkSABrkkk化简，得4217180kk，即22(1)(1718)0kk，解得1k所以，22||21krk，.……………12分故圆2F的方程为：22(1)2xy..……………13分（Ⅱ）另解：设直线l的方程为1xty，由221143xtyxy，消去x得22(43)690tyty，0恒成立，设1122(,),(,)AxyBxy，则12122269,,4343tyyyytt……………8分所以221212122223636||()4(43)43tyyyyyytt22121;43tt.……………9分又圆2F的半径为22|101|211trtt，.……………10分所以2212121221121122||||||2437AFBtSFFyyyyt，解得21t，所以2221rt，……………12分故圆2F的方程为：22(1)2xy..……………13分2.朝阳(2011一模理)19．（本小题满分14分）已知(2,0)A，(2,0)B为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且APB面积的最大值为23．（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．答案：19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为22221(0)xyabab，(,0)Fc．由题意知解得3b，1c．故椭圆C的方程为22143xy，离心率为12．……6分（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．证明如下：由题意可设直线AP的方程为(2)ykx(0)k.则点D坐标为(2,4)k，BD中点E的坐标为(2,2)k．由22(2),143ykxxy得2222(34)1616120kxkxk．设点P的坐标为00(,)xy，则2021612234kxk．所以2026834kxk，00212(2)34kykxk．……………………………10分因为点F坐标为(1,0)，当12k时，点P的坐标为3(1,)2，点D的坐标为(2,2).直线PFx轴，此时以BD为直径的圆22(2)(1)1xy与直线PF相切．当12k时，则直线PF的斜率0204114PFykkxk.所以直线PF的方程为24(1)14kyxk．点E到直线PF的距离222228421414161(14)kkkkkdkk322228142||14|14|kkkkkk．又因为||4||BDk，所以1||2dBD．故以BD为直径的圆与直线PF相切．综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．………14分3.（2011顺义二模理19）.（本小题满分14分）已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为0,3,0,321FF,离心率是23。椭圆C的左，右顶点分2221223,22,.abaabcOFEPDBAyx_D_x_y_N_S_A_B_M_O别记为A,B。点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线310:xl分别交于M,N两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：TSA的面积为51。试确定点T的个数。解（1）因为23ac，且3c，所以1,222caba所以椭圆C的方程为1422yx…………………………………………….3分(2)易知椭圆C的左，右顶点坐标为)0,2(),0,2(BA,直线AS的斜率k显然存在，且0k故可设直线AS的方程为)2(xky，从而)34,310(kM由14)2(22yxxky得041616)41(2222kxkxk设),(11yxS，则22141416)2(kkx，得2214182kkx从而21414kky，即)414,4182(222kkkkS又)0,2(B,故直线BS的方程为)2(41xky由310)2(41xxky得kyx34310，所以)34,310(kN故kkMN3434又0k，所以38343423434kkkkMN当且仅当kk3434时，即1k时等号成立所以1k时，线段MN的长度取最小值38………………………………..9分（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，1k此时AS的方程为02yx，)54,56(S,所以524AS,要使TSA的面积为51，只需点T到直线AS的距离等于42，所以点T在平行于AS且与AS距离等于42的直线'l上设0:'tyxl，则由4222t，解得2523tt或①当23t时，由0231422yxyx得051252xx由于044，故直线'l与椭圆C有两个不同交点②25t时，由0251422yxyx得0212052xx由于020，故直线'l与椭圆C没有交点综上所求点T的个数是2.…4.（2010寒假）东城19．（本小题满分13分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点(0,2)F，且长轴长与短轴长的比是2:1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求PAB面积的最大值．答案：19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为22221(0)yxabab．由题意222,:2:1,2.abcabc………………………………………………2分解得24a，22b．所以椭圆C的方程为22142yx．………………………………………………4分（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，yOxBAPF1F2则PB的直线方程为2(1)ykx.由222(1),1.42ykxyx得222(2)2(2)(2)40kxkkxk.………………6分设(,)AAAxy，(,)BBBxy，则2222212BBkkxxk，同理可得222222Akkxk，则2422ABkxxk，28(1)(1)2ABABkyykxkxk.所以直线AB的斜率2ABABAByykxx为定值.……………………………………8分（Ⅲ）设AB的直线方程为2yxm.由222,1.42yxmyx得2242240xmxm.由22(22)16(4)0mm，得28m.……………………………………10分此时22ABmxx，244ABmxx.P到AB的距离为3md，22()()ABABABxxyy23122m则2113122223PABmSABdm222211118(8)222222mmmm.因为24m使判别式大于零，所以当且仅当2m时取等号，所以PAB面积的最大值为2．………………………………………………………13分5.（2010一模）石景山19．（本题满分14分）已知椭圆)0(12222babyax的离心率为36，长轴长为32，直线mkxyl:交椭圆于不同的两点A、B。（1）求椭圆的方程；（2）求kOBOAm求且,0,1的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线l的距离为23，求AOB面积的最大值。答案：19．（本题满分14分）解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意3,36aac解得2c由.1,222bcba得2分所求椭圆方程为.1322yx3分（2）.1,1kxym设),(),,(2211yxByxA，其坐标满足方程11322kxyyx消去y并整理得,06)31(22kxxk4分则222(6)4(13)(33)0kkk（*）5分故2121222633,1313kkxxxxkk6分0OBAO12121212(1)(1)xxyyxxkxkx221212(1)()kxxkxxk222222223363(1)0131331kkkkkkkkk3k经检验3k满足式（*）式8分（3）由已知231||2km，可得)1(4322km9分将ymkx代入椭圆方程，整理得.0336)31(222mkmkxxk(*)0)33)(31(4)6(222mkkm.3133,3162221221kmxxkkmxx10分222222221223612(1)||(1)()(1)[](31)31kmmABkxxkkk22222222)13()19)(1(3)13()13)(1(12kkkkmkk11分)0(463212361912316912322242kkkkkk12分当且仅当2219kk，即33k时等号成立，经检验，33k满足（*）式当0k时，3|AB综上可知.2||maxAB13分当|AB最大时，AOB的面积最大值2323221S14分6.海淀(2011寒假)19.（本小题满分14分）已知点(1,)My在抛物线2:2Cypx(0)p上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线:l12yxb与抛物线交于,AB两点.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（Ⅲ）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值.答案：19.（共