离散数学试卷及答案(25)

离散数学试卷（25）166一、填空题：（每空1分，本大题共15分）1．给定命题公式A、B，若，则称A和B是逻辑相等的。2．命题公式)(QP的主析取范式为，主合取范式的编码表示为。3．设E为全集，，称为A的绝对补，记作～A，且～（～A）=，～E=，～=。4．设},,{cbaA考虑下列子集}},{},,{{1cbbaS，}},{},,{},{{2cabaaS，}},{},{{3cbaS，}},,{{4cbaS}}{},{},{{5cbaS，}},{},{{6caaS则A的覆盖有，A的划分有。5．设S是非空有限集，代数系统＜（S），，＞中，（S）对的幺元为，零元为。（S）对的幺元为，零元为。6．若EVG,为汉密尔顿图，则对于结点集V的每个非空子集S，均有W(G-S)S成立，其中W(G-S)是。二、单项选择题：（每小题1分，本大题共10分）1．下面命题公式（）不是重言式。A、)(QPQ；B、PQP)(；C、)()(QPQP；D、)()(QPQP。2．命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。设xxM：)(是人，xxP：)(犯错误。A、))()((xPxMx；B、)))()(((xPxMx；C、)))()(((xPxMx；D、)))()(((xPxMx。3．设}{A，B=((A))，下列各式中哪个是错误的（）。离散数学试卷（25）167A、B；B、B}{，C、B}}{{；D、}}{,{(A)。4．对自然数集合N，哪种运算不是可结合的，运算定义为任Nba,（）。A、),min(baba；B、baba2；C、3baba；D、)3(mod,baba。5．设Z为整数集，下面哪个序偶不够成偏序集（）。A、)(,小于关系：Z；B、)(,小于等于关系：Z；C、)(,于关系：等Z；D、)(,关系：整除Z。6．任意具有多个等幂元的半群，它（）。A、不能构成群；B、不一定能构成群；C、不能构成交换群；D、能构成交换群。7．设,A是一个有界格，它也是有补格，只要满足（）。A、每个元素都有一个补元；B、每个元素都至少有一个补元；C、每个元素都无补元；D、每个元素都有多个补元。8．设EVG,为无向图，23,7EV，则G一定是（）。A、完全图；B、树；C、简单图；D、多重图。9．给定无向图EVG,，如下图所示，下面哪个边集不是其边割集（）。A、},,,{4341vvvv；B、},,,{6451vvvv；C、},,,{8474vvvv；D、},,,{3221vvvv。10．有n个结点)3(n，m条边的连通简单图是平面图的必要条件（）。A、63mn；B、63mn；C、63nm；D、63nm。离散数学试卷（25）168三、判断改正题：（每小题2分，本大题共20分）1．设A，B为任意集合，不能BABA且。（）2．设R是集合A上的关系，若21,RR是对称的，则21RR也是对称的。（）3．群中可以有零元（对阶数大于1的群）。（）4．循环群一定是Abel群。（）5．每一个链都是分配格。（）6．不可能有偶数个结点，奇数条边的欧拉图。（）7．图G中的每条边都是割边，则G必是树。（）9．公式)())()((yRxQxPx中x的辖域为)(xP。（）10．公式),()(yxyQxxP的前束范式为)),()((yxQxPyx。（）四、简答题（共20分）1．用等值演算法求下面公式的主析取范式，并求其成真赋值。RQP)(2．集合}4,3,2,1{A上的关系}4,4,3,4,4,3,1,3,3,3,2,2,3,1,1,1{R，写出关系矩阵RM，画出关系图并讨论R的性质。3．有n个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药，而每种药恰好在两个药箱中，问共有多少种药品？4．一棵树T中，有3个2度结点，一个3度结点，其余结点都是树叶。（1）T中有几个结点；（2）画出具有上述度数的所有非同构的无向图。离散数学试卷（25）169五、证明题：（35分）1．符号化下列各题，并说明结论是否有效（用推理规则）。凡15的倍数都是3的倍数，凡15的倍数都是5的倍数，所以有些5的倍数是3的倍数。2．用推理规则证明：CAFEFDEBDCBA,)(,)()(,)()(├A3．设函数BAf：，CBg：，若fg是满射的，则g是满射的。4．当且仅当G的一条边e不包含在G的闭迹中时，e才是G的割边。5．设,,S是一个分配格，Sa，令axxf)(，对任意Sa，证明：f是,,S到自身的格同态映射。一、填空题1．对于A，B中原子变元nPPP,,,21任意一组真值指派，A和B的真值相同。2．110100,MMMQP。3．集A关于E的补集E–A；A；Φ；E。4．54354321,,,,SSSSSSSS，，；。5．；；；SS。6．SG；的连通分支数。二、单项选择题题号12345678910答案CDDBAABDBD三、判断改正题1．×可能BABA且，如}2}1{1{,}{，，BaA。离散数学试卷（25）1702．×21RR，是对称的，则21RR不一定是对称的。3．×阶数大于1的群不可能有零元。4．√。5．√。6．×可以有偶数个结点、奇数条边的欧拉图。如图7．×连通图，若每条边都是割边，则G必是树。8．×：P每一个自然数不都是偶数。9．×x的辖域为)()(xQxP。10．×),()(yxyQxxP的前束范式为)),()((yuQxPyx。四、简答题1．解：原式011001101111000001)()()()()()()()(mmmmmmRQPRQPRQPRQPRQPRQPRQPRQP∴使其成真赋值为：100RQP，000RQP，111RQP，101RQP，100RQP，110RQP。2．解：1100110100100101RMR的关系图为R是自反、对称的。3．解：用n个结点表示n个药箱，当两种药箱放一种相同药时，则对应的两点连一条边，则得到一个无向完全图，因而所求药品数即为该图边数=)1(21nn。4．解：（1）设该树树叶数为t，则树T的结点数为t13，又边数=结点数－1，倍边数2)deg(iv，∴)113(213123tt离散数学试卷（25）171即tt269，∵3t，∴T中7个结点。（2）具有3个两度结点，一个3度结点，3片树叶的树（非同构的）共有以下三种：五、证明题1．解：设个体域为整数集，的倍数是：yxyxD),(。则命题符号化为：))3()15((，，xDxDx，))5()15((，，xDxDx，），（15xxD├))3()5((，，xDxDx证明：（1）），（15xxDP（2）），（15cDES（1）（3）))3()15((，，xDxDxP（4）)3()15(，，cDcDUS（3）（5）)3,(cDT（2）（4）I（6）))5()15((，，xDxDxP（7）)5()15(，，cDcDUS（6）（8）)5,(cDT（2）（7）I（9）)3,()5,(cDcDT（5）（8）I（10）))3,()5,((xDxDxEG（9）∴结论有效。2．证明：（1）AP（附加前提）（2）CAP（3）CT（1）（2）I离散数学试卷（25）172（4）)()(DCBAP（5）DCT（4）I（6）DT（3）（5）I（7）)()(FDEBP（8）)()(FDEBT（7）E（9）FDT（8）I（10）FT（6）（9）I（11）BAT（4）I（12）BT（1）（11）I（13）EBT（8）I（14）ET（12）（13）I（15）FET（10）（14）I（16）)(FEP（17）)()(FEFET（15）（16）I∴结论有效。3．证明：CAfg：，Cc，∵fg是满射，∴Aa，使cafgafg))(()(，令Bafb)(，则cbg)(，∴CBg：是满射。4．证明：必要性：设e为割边，若e包含在G的一个闭迹中，则从G中删去e仍连通，此与e是割边矛盾。充分性：设),(vue，不包含G的任一闭迹中。假设e不为割边，则eG仍连通，vu,间存在一条基本回路C，于是eC则为一条闭迹与已知矛盾，∴e为割边。5．证明：)()()()()()(,,可结合yxfayaxayxyxfSyx，离散数学试卷（25）173)()()()()()()(分配律yxfayaxayxyxf，∴f是，，S到自身的格同态映射。