4.3协方差和相关系数

1一、协方差二、相关系数4.3协方差和相关系数2对于随机变量(X,Y)而言:E(X)、E(Y)反映分量X、Y各自的平均值D(X)、D(Y)反映分量X、Y各自的平均偏离程度并未反映X、Y之间的相互关系3定义:一、协方差称E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}4若X取值比较大(XE(X)),Y也较大(YE(Y))若X取值比较小(XE(X)),Y也较小(YE(Y))若X取值较小,Y取值较大或若X取值较大,Y取值较小,这时Cov(X,Y)0,这时Cov(X,Y)0,则Cov(X,Y)0协方差可了解两个变量之间变化的关系(变化趋势在平均意义上而言):5正的协方差表示两个随机变量倾向于同时取较大值或同时取较小值,负的协方差反映两个随机变量有相反方向变化的趋势6ijijjipYEyXEx)]()][([Cov(X,Y)连续型随机变量的协方差:Cov(X,Y)dxdyyxfYEyXEx),()]()][([离散型随机变量的协方差:7协方差的性质:1.Cov(X,X)=D(X);Cov(Y,Y)=D(Y)2.Cov(X,Y)=Cov(Y,X)3.Cov(a1X+b1,a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y)其中a1,a2,b1,b2为常数4.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)85.Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0还可推得:D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)6.[Cov(X,Y)]2≤D(X)D(Y)9二、相关系数定义:若D(X)0,D(Y)0,则称)()(),(YDXDYXCov为X,Y的相关系数或标准协方差,记为XY,即)()(),(YDXDYXCovXY10关于XY的符号:当XY0时,称X与Y为正相关.当XY0时,称X与Y为负相关.相关系数和协方差具有相同的符号,因此,前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里.即正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势.负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势.11相关系数的性质：11||.证:由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2bCov(X,Y))(),(XDYXCovb令，则上式为D(Y-bX)=)()],([)(2XDYXCovYD])()()],([1)[(2YDXDYXDYD]1)[(2YD由方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。212当且仅当X与Y之间有线性关系时,等号成立即||=1a,b,使P{Y=aX+b}=1说明:XY刻划X,Y之间的线性相关程度|XY|1,则X,Y越接近线性关系|XY|=1,则X,Y存在线性关系当XY=0时,称X与Y不相关,则X,Y没有线性关系132.X和Y独立时，=0，但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.故)()(),(YVarXVarYXCov=00但由并不一定能推出X和Y独立.请看下例.14证明:例1设(X,Y)服从单位圆域x2+y2≤1上的均匀分布,证明:XY=0。DyxDyxyxf),(0),(1),(001)(11111112222dydyxdxdxdyxXEyyyx15∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0同样得E(Y)=0001)(11111112222dydyxdxydxdyxyXYEyyyx可易得Var(X)0,Var(Y)0.∴XY=0,故X与Y不相关.但是在第三章计算过:X和Y不相互独立.16例2设(X,Y)的概率密度为其它,010,10,),(yxyxyxf求Cov(X,Y)、XY解:dxdyyxxXE1010)()(127同理,得:127)(YE17dxdyyxxyXYE1010)()(31有:Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)1441dxdyyxxXE101022)()(125D(X)=E(X2)E2(X)2)127(12514411同理,得:14411)(YD18有:)()(),(YDXDYXCovXY1441114411144111119但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立X与Y不相关前面，我们已经看到：若X与Y独立，则X与Y不相关，但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立.参见书P126—127例13