余弦定理第1课时公开课

复习回顾：1.正弦定理的内容在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。CcBbAaABCsinsinsin中，即在2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？（1）已知三角形的两角和一边（2）已知两边和其中一边的对角。若已知三角形的三边，或者是两边及其夹角，能否用正弦定理来解三角形呢？R2新课讲授：?,,.cCABC如何求边中在三角形901ABCcba222bac勾股定理：呢？来求如何由边中在非直角三角形cbaABC,,.2新课讲授：.,,cbaCABC求边及边中，已知角在三角形222BDADcABD有中在直角三角形,CbaCDaBDCbADcossin而222)cos()sin(CbaCbcCabCbaCbcoscossin222222ACBacbDDBCBCADA于交作过点,Cabbacos222BaccabAbccbacoscos22222222我们已经学过向量,下面试着用向量的方法给予证明新课讲授：ABCabcCBACAB22CBACABCBACCBAC222CCBACCBACcos222)cos(CCBACCBAC222CCBACCBACcos222Cabbaccos2222即用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和,再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。新课讲授：CabbacBaccabAbccbacoscoscos222222222222余弦定理：1．在△ABC中，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形解：c2＝a2＋b2－2abcosC＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°)＝8－43＝(6－2)2∴c＝6－2.例1法一：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝（23）2＋（6－2）2－（22）22×23×（6－2）＝22.∵0°A180°，∴A＝45°，从而B＝120°.法二：由正弦定理得sinA＝asinCc＝22×6－246－2＝22.∵ab，∴AB，又0°A180°，∴A必为锐角，∴A＝45°，从而得B＝120°.已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．.,120,1,1解三角形中，在CbaABC33120112112222222ccCabbaccoscos解：301203018018030150302131201CABAACacAcCaACcAa因此，所以但是由于或又,,sinsinsinsinsin练习1△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A.2B.3C．2D．3【解析】选D.由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D.例2已知两边及其中一边的对角解三角形可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝π3，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3练习2解析：选B由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，∴12＝1＋c2－32×1×c，∴c2－2＝c，∴c＝2或c＝－1(舍)．2．在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，解三角形.[解答]：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝6时，由正弦定理得sinA＝asinBb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.法二：由正弦定理得sinC＝csinBb＝33×123＝32，由bc，BC∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形．当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.当C＝60°时，A＝90°，△ABC为直角三角形．由勾股定理得a＝b2＋c2＝32＋（33）2＝6，课堂小结1.余弦定理及变形CabbacBaccabAbccbacoscoscos222222222222abcbaCacbcaBbcacbA222222222222coscoscos2.余弦定理可解决的问题（1）已知三边，求三个角（2）已知两边和它们的夹角，求第三边作业：1.作业本：课本第9页练习B1第10页习题1-1B2,5,72.完成《课时训练》本节对应习题