余弦定理第一课时PPT课件-人教A版数学高二必修5第一章1.1.2

第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.学习目标BCA运用正弦定理能解怎样的三角形？探究新知运用正弦定理能解怎样的三角形？①已知三角形的任意两角及其一边；②已知三角形的任意两边和其中一边的对角.那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三条边，又怎么求出它的三个角？如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.从量化的角度来看，如何从已知的两边和它们的夹角求三角形的另一边和两个角呢？如图，在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c.已知a,b和∠C，求边c？已知三角形两边和它们的夹角，求三角形的另一边？BCAbac联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用向量来研究这一问题.BCAbac如图，在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c.已知a,b和∠C，求边c？2()()aBCBCACABACAB222ACACABAB222||||cosACACABAAB222cosbbcAc即2222cosabcbcA同理可证2222cosbacacB2222coscababC余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC推论：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab余弦定理及其推论的基本作用是什么？作用:①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其他角.勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.中，在ABC推论:为直角；，则若Ccba222为锐角；，则若Ccba222为钝角；，则若Ccba222例1：如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是Ｏ.甲、乙两人同时从点Ｏ分别沿OA,OC方向出发，速度分别是4km/h,4.5km/h.3小时后两人相距多远（结果精确到0.1km）?分析：经过3小时，甲到达点P，OP=4×3=12(km),乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).问题转化为在△OPQ中，已知OP=12km，OQ=13.5km,∠POQ=80°，求PQ的长.典例剖析解：经过3小时后，甲到达点P，OP=4×3=12（km）,乙到达点Q，OQ=4.5×3=13.5(km).依余弦定理，知222cosPQOPOQOPOQPOQ221213.521213.5cos8016.4(km)答：3小时后两人相距约16.4km.课堂练习：1.b=8,c=3,A=60°,a=________2.a=,c=2,B=150°,b=________3377变式已知△ABC中，a=8,b=,B=30,求边长c.24由正弦定理，得：222430sin8sinsinbBaA.351,4521AA当时,451A.105)3045(180)(18011BAC.43430sin105sin24sinsin11BCbc当时,5132A.15)30135(180)(18022BAC.43430sin15sin24sinsin22BCbc解法一：解法二：由余弦定理，得：Bcaacbcos2222.30cos828)24(222cc整理，得：.032382cc解之，得：,4341c.4342c注1°解法一中，要注意C有两个结果，避免遗漏.2°解法二是利用余弦定理，直接求出c,更加简捷，值得提倡.例2:右图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数2,3,5,...的图形.试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小（长度精确到0.1,角度精确到1°）解：在△BCD中，BC=1，CD=1，∠BCD=135°.因为2222cosBDBCCDBCCDBCD2211211cos13522.所以1.8BD.在△ABD中，AB=1,22,3BDAD因为222cos2ABADBDDABABAD221(3)(22)0.1691213所以80DAB.课堂练习：3.a=20,b=29,c=21,B=________4.a=2,b=,c=，A=______5.a=9,b=10,c=15.A=____,B=_____,C=_____21390°45°36°40°104°例3在△ABC中，已知求A.解：由得,3))((bcacbcba,3)(22bcacb.222bcacb即,cos2122222bcbcbcacbA.60Aaccba2222练习在ABC中,已知,求角C.,3))((bcacbcba例4．在△ABC中已知a＝2bcosC，求证：△ABC为等腰三角形证1：由正弦定理得a＝∴2bcosC＝，即2cosC·sinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin（B－C）＝0，∴B－C＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B、C是三角形的内角，∴B＝C，即三角形为等腰三角形BAbsinsinBAbsinsin证2：根据射影定理，有a＝bcosC＋ccosB，又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosCccosB∴bcosC＝ccosB，即又∵∴∴即tanB＝tanC∵B、C在△ABC中，∴B＝C∴△ABC为等腰三角形证3：∵cosC＝∴化简后得b2＝c2∴b＝c∴△ABC是等腰三角形CBcbcoscosCBcbcoscosCBCBcoscossinsinbaabcbaC22cos,222baabcba222221.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2.余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.解三角形两角一边两边一角三条边两边及其中一边的对角两边及其夹角正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理余弦定理1.在ABC中，已知1,2,60bcA，则____a2.ABC的三边之比为3:5:7，求这个三角形的最大角.提示：由余弦定理得2212212cos603a提示：2223571cos,1202352AA3当堂检测解：∵三角形的三边之比为3:5:7，所以可以设三边分别为3a,5a,7a.由正弦定理可得，7a所对的角最大,设所对的角为A，则由余弦定理可得：2223571cos,1202352AA答：这个三角形的最大角为120°.3.ΔABC中，a=2，b=2，C=15°，解此三角形.2∵Cabbaccos2222解：∴c＝26∴acbcaB2cos222∴B＝135°∴A＝180°－(B＋C)＝30°3＝8－422＝－