中考冲刺数学专题07 探究规律问题(含答案)

1中考冲刺数学专题7——探究规律问题【备考点睛】近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，从填空、选择到解答题中都可见到这类探究规律问题,。这类问题题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，往往出现在填空选择的最后一两道题、或解答题的最后几题，应引起考生的重视。规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识。【经典例题】类型一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式例题1如图，在ABCRt中，2,1,90ACBCC，把边长分别为321,,xxx,……，nx的n个正方形依次放入ABC中，请回答下列问题：（1）按要求填表：（2）第n个正方形的边长nx；解答：如图，设0xBC，则10x，——相当于搞清楚第一项；由11CABRt∽ABCRt,得21111ACBCACCB，而,111xCB11xACAC，,21211xx解得,321x即3201xx；完全类似地可得2123232xx。——搞清楚了递推关系。把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。n123nxABC1x2x3xABC1x2x3x1B2B3B1C2C3C2（1）依次应填94,32；278；（2）n32例题2．（2010山东济宁）观察下面的变形规律：211＝1－12；321＝12－31；431＝31－41；……解答下面的问题：（1）若n为正整数，请你猜想)1(1nn＝；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：211＋321＋431＋…[phone].解答：（1）111nn（2）证明：n1－11n＝)1(1nnn－)1(nnn＝1(1)nnnn＝)1(1nn.（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…[phone]＝12009120102010.例题3如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有。解答：我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：3所以第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有48n个.例题4探索nn的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当2n时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数。则;2S当3n时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1五种，比2n时增加了3种，即532S。（1）观察图形，填写下表：钉子数)(nnS值222332+3442+3+（）55（）（2）写出)1()1(nn和)(nn的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表述均可）。（3）对)(nn的钉子板，写出用n表示S的代数式。解答：当4n时，钉子板上所连不同线段的长度值只有22,5,2,2,1。（这些是3n时已有的），23,13,10,3（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳）；3n时比2n时多出3个种数；4n时比3n时多出4个种数;……)(nn时比)1()1(nn时多出n个种数;-----(第二层归纳).有了以上两个层次的归纳概括,三个问题的解都已是水到渠成.(1)两个括号内应分别埴:4;2+3+4+5;4(2))(nn的钉子板比)1()1(nn的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n种;(3)nS......432.归纳的实质是从若干个特殊中发现共性,因此应从研究特殊和特殊之间的关联入手,这一点,本题体现得比较充分.类型二、借助于函数思想，得到表示变化规律的代数式例题5一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线a把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线)//(abb把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线ba,之间把绳子再剪)2(n次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是（）A、14nB、24nC、34nD、54n解答：我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。设为bkny，由（1，1），（2，5）得：即34ny。本题要求的是“剪n次”，实际上是序号1n所对应的图，其中绳子的段数应为143)1(4nny。答：应选A。说明：对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪n刀则是第1n个图，二者不应弄混。当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数n”与绳子段数y之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），（3，13）…仍借助于待定系数法求出函数关系式14ny,最后的结果是一样的.例题6观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则m（用含n的代数式表示）。5解答：题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），……序数n（自变量）每增大1，对应的函数值m就增大3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。设bknm，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：23nm答：m23n说明：就本题来说，用“一般归纳”的方法也容易求得结果，而应用“待定系数法”不仅多了一种选择方法，更在于它过程规范，结果肯定，把合情“猜想”转变为程序性的执行。提高了确定感。例题7将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…，则第n个图形中，其有个六边形。解答：图形序号n与图形中正六边形的个数m满足（1，1），（2，4），（3，7），n每增大1，m就增大3，可知m是n的一次函数，用待定系数法（略）求得23nm类型三、借助于直接计算，得到表示变化规律的代数式例题8．（2010贵州贵阳）如图，在直角坐标系中，已知点0M的坐标为（1,0），将线段0OM绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到1M，使得001OMMM，得到线段1OM；又将线段1OM绕原点O沿逆时针方向旋转45，再将其延长到2M，使得112OMMM，得到线段2OM，如此下去，得到线段3OM，4OM，…，nOM．（1）写出点M5的坐标；6（2）求65OMM的周长；（3）我们规定：把点)(nnnyxM，（n0,1,2,3…）的横坐标nx，纵坐标ny都取绝对值后得到的新坐标nnyx,称之为点nM的“绝对坐标”．根据图中点nM的分布规律，请你猜想点nM的“绝对坐标”，并写出来．（4分）解答：（1）M5（―4，―4）（2）由规律可知，245OM,2465MM，86OM∴65OMM的周长是288（3）解法一：由题意知，0OM旋转8次之后回到x轴的正半轴，在这8次旋转中，点nM分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，点nM的“绝对坐标”可分三类情况：令旋转次数为n①当点M在x轴上时:M0（0,)2(0），M4（0,)2(4），M8（0,)2(8），M12（0,)2(12）,…，即：点nM的“绝对坐标”为（0,)2(n）。②当点M在y轴上时:M2))2(,0(2，M6))2(,0(6，M10))2(,0(10，M14))2(,0(14,……，即：点nM的“绝对坐标”为))2(,0(n。③当点M在各象限的分角线上时：M1))2(,)2((00，M3))2(,)2((22，M5))2(,)2((44，M7))2(,)2((66,……，即：nM的“绝对坐标”为))2(,)2((11nn。解法二：由题意知，0OM旋转8次之后回到x轴的正半轴，在这8次旋转中，点分别落在坐标象限的分角线上或x轴或y轴上，但各点“绝对坐标”的横、纵坐标均为非负数，因此，各点的“绝对坐标”可分三种情况：①当kn2时（其中k=0，1，2，3，…），点在x轴上，则nM2（0,2n）②当12kn时（其中k=1，2，3，…），点在y轴上，点nM2（n2,0）③当n=1，2，3，…，时，点在各象限的分角线上，则点12nM（112,2nn）例题9．如图，已知ABC的面积1ABCS。（1）在图（1）中，若,21111CACCBCBBABAA则41111CBAS；（2）在图（2）中，若31222CACCBCBBABAA，则31222CBAS7（3）在图（3）中，若,41333CACCBCBBABAA则167333CBAS；按此规律，若91888CACCBCBBABAA，则888CBAS。（1）（2）（3）解答：其实不用管图（1），（2），（3），可直接计算888CBA的面积即可，实际上'('21888hhAASCAA表示88CAA边8AA上的高）ABChhAB为)(98()91(21边AB上的高）ABCShAB81881821同理，88ABBS，88BCCS均等于ABCS818，得2719278138181888CBAS。例题10．（2010广东中山）阅读下列材料：)210321(3121，)321432(3132，)432543(3143，由以上三个等式相加，可得.2054331433221读完以上材料，请你计算下列各题：（1）1110433221（写出过程）；（2）)1(433221nn=；（3）987543432321=．解答：（1）1110433221ABC2CA2A2BABC3C3A3BBCA1A1BAA8=)210321(31+)321432(31+…+)11109121110(31=12111031=440．（2）)2)(1(31nnn（3）987543432321=)32104321(41+)43215432(41+…+)987610987(41=1098741=1260【技巧提炼】规律探索性问题的特点是问题的结论或条件不直接给出,需要通过观察、分析、综合、归纳、概括、推理、判断等一系列探索活动逐步确定需求的结论和条件,解答这类问题的关键是认真审题,掌握规律,合理推测,认真验证,从而得出问题的正确结论.研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法：1、以归纳概括为指导的思考方法；这类问题思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。2、以函数思想为指导的方法；这类问题的思考特点是：第一，先根据背景与问题的特点，选定标准并按其分类；第二，将问题按所属类别做出解答。3、以直接计算为指导的方法。这类问题的思考特点：找到由前一项（或前几项）表示该项的规律。这样，只要知道第一项（或前几项），就可以逐个地将随后的项推出。【体验中考】1．（2010山东日照）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：9他